Calcule a integral dupla: integral duplaR x cos y d A ; R é limitada por y=0 y=x^2 e x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A região é limitada por , e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas. Precisamos entender os limites de integração e como configurar a integral para essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região para visualizar melhor. Temos:
  • : é o eixo .
  • : é uma parábola que abre para cima.
  • : é uma linha vertical.
Intersecções:
  • Onde e : .
  • Onde e : .
Então, nossa região vai de a e, para cada , vai de a .

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites. A integral fica:
integralx=0^1 integraly=0^x^2 x cos y , dy , dx
Vamos primeiro integrar em relação a , mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna integral x cos y , dy = x sin y + C .
Aqui, x sin(x^2) - x sin(0) = x sin(x^2) é tratado como constante durante essa integração. A antiderivada de em relação a é . Então:
Agora, aplicamos os limites de a :
Porque .

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 x sin(x^2) , dx
Essa integral pode ser resolvida usando substituição. Vamos deixar isso claro.

Passo 6

Fazemos a substituição integralu=0^1 12 sin u , du = 12 integral0^1 sin u , du . Então, ou .
Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Integrando 12 (-cos u) |0^1 = 12 ( -cos 1 + cos 0 ) em relação a 12 (1 - cos 1) :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados