Calcule a integral dupla integralintegralR (x^2 + y^2) dA, onde R é a região limitada pelas retas y = x, y = -x e x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente somar valores de uma função em uma região específica. A função que vamos integrar é , e a região está limitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever essa região e escolher os limites de integração corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . As retas e formam um “X” no gráfico, e a reta corta esse “X”. Isso significa que nossa região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para integralx=0^1 integraly=-x^x (x^2 + y^2) , dy , dx e . Observamos que varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de a . Então, podemos expressar a integral dupla assim:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integraly=-x^x x^2 , dy = x^2 cdot (y) |-x^x = x^2 (x - (-x)) = 2x^3 . A função a ser integrada é integraly=-x^x y^2 , dy = y^33 |-x^x = x^33 - (-x)^33 = x^33 + x^33 = 2x^33 . Integramos cada termo separadamente:

Passo 5

Somando os dois resultados, a integral interna fica:
2x^3 + 2x^33 = 6x^3 + 2x^33 = 8x^33

Passo 6

Agora, integramos esse resultado em relação a integral0^1 8x^33 , dx = 83 cdot integral0^1 x^3 , dx = 83 cdot ( x^44 |0^1 ) = 83 cdot ( 14 - 0 ) = 83 cdot 14 = 23 , de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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