Calcule a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla, que é basicamente somar valores de uma função em uma região específica. A função que vamos integrar é , e a região está limitada pelas retas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever essa região e escolher os limites de integração corretos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . As retas e formam um “X” no gráfico, e a reta corta esse “X”. Isso significa que nossa região é um triângulo com vértices em , e .
Passo 3
Agora, para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para e . Observamos que varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de a . Então, podemos expressar a integral dupla assim:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a . A função a ser integrada é . Integramos cada termo separadamente:
Passo 5
Somando os dois resultados, a integral interna fica:
2x^3 + 2x^33 = 6x^3 + 2x^33 = 8x^33
Passo 6
Agora, integramos esse resultado em relação a integral0^1 8x^33 , dx = 83 cdot integral0^1 x^3 , dx = 83 cdot ( x^44 |0^1 ) = 83 cdot ( 14 - 0 ) = 83 cdot 14 = 23 , de 0 a 1: