Calcule integral duplaB x^2 d x d y, onde B é o conjunto x^2+4 y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde é a região definida por . Nesse exercício, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas sobre regiões limitadas por curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a região para facilitar a integração, usando mudanças de variável e coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região u = x e v = 2y : u^2 + v^2 <= 1 . Isso representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimentos diferentes. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo.
Vamos definir:
Com isso, a equação da região fica:
Agora, a região é transformada em um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Quando fazemos uma mudança de variável, precisamos calcular o jacobiano da transformação para ajustar a integral. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 0, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 12
Dado que J = 1 & 0 0 & 12 = 1 times 12 - 0 times 0 = 12 e , temos:
Então,

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaB x^2 , dx , dy = integral duplau^2+v^2 <= 1 u^2 times (12) , du , dv = 12 integral duplau^2+v^2 <= 1 u^2 , du , dv e u = r costheta, v = r sintheta, du , dv = r , dr , dtheta :
12 integral0^2pi integral0^1 (r costheta)^2 times r , dr , dtheta = 12 integral0^2pi cos^2theta integral0^1 r^3 , dr , dtheta
A integral é mais fácil de resolver em coordenadas polares. Vamos fazer a mudança para coordenadas polares onde:
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Agora, a integral em 12 times pi times 14 = pi8 :
Isso porque integrada de 0 a é .
Portanto, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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