Calcule integral duplaB y d x d y, onde B é a região compreendida entre os gráficos de y=x e y=x^2, com 0 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaB y , dx , dy, onde B é a região entre as curvas y = x e y = x^2, para 0 <= x <= 2. Isso está no campo do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e configurar a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região B. Temos y = x e y = x^2. Para saber onde elas se cruzam, igualamos as duas equações:
x = x^2 x^2 - x = 0 x(x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1
Então, as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e x = 1. Isso divide o intervalo de x em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a 2. Precisamos analisar qual curva está acima da outra em cada intervalo.

Passo 3

Para 0 <= x <= 1, vamos ver qual valor de y é maior. Se escolhermos, por exemplo, x = 0.5:
y = x = 0.5 y = x^2 = 0.25
Aqui, y = x está acima de y = x^2. Já para 1 <= x <= 2, se escolhermos x = 1.5:
y = x = 1.5 y = x^2 = 2.25
Agora, y = x^2 está acima de y = x. Isso significa que precisamos dividir a integral em duas partes:
  1. De 0 a 1: y varia de x^2 a x.
  2. De 1 a 2: y varia de x a x^2.

Passo 4

Vamos configurar as integrais:
integral duplaB y , dx , dy = integral0^1 integralx^2^x y , dy , dx + integral1^2 integralx^x^2 y , dy , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 5

Primeira integral de 0 a 1:
integral0^1 [ integralx^2^x y , dy ] dx = integral0^1 [ y^22 |x^2^x ] dx = integral0^1 ( x^22 - (x^2)^22 ) dx = integral0^1 ( x^22 - x^42 ) dx
Integrando em relação a x:
[ x^36 - x^510 ]0^1 = ( 16 - 110 ) = 5 - 330 = 230 = 115

Passo 6

Segunda integral de 1 a 2:
integral1^2 [ integralx^x^2 y , dy ] dx = integral1^2 [ y^22 |x^x^2 ] dx = integral1^2 ( (x^2)^22 - x^22 ) dx = integral1^2 ( x^42 - x^22 ) dx
Integrando em relação a x:
[ x^510 - x^36 ]1^2 = ( 3210 - 86 ) - ( 110 - 16 ) = ( 3.2 - 13 ) - ( 0.1 - 01 ) = 1.866ldots - (-0.033ldots) = 1.9

Passo 7

Somando as duas partes:
115 + 1.9 = 115 + 1910 = 230 + 5730 = 5930 approx 1.9667

Resposta

A integral dupla integral duplaB y , dx , dy vale aproximadamente 1.9667.

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