Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y onde f(x, y)=x+y e R é o retângulo dado por 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, então vamos calcular a integral dupla de sobre o retângulo definido por e . Isso está relacionado ao cálculo de áreas e volumes usando integrais duplas, e vamos precisar entender como integrar em duas variáveis. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área sobre a qual vamos integrar. O retângulo tem indo de 1 a 2 e indo de 0 a 1. Isso significa que estamos somando os valores de em todos os pontos dentro desse retângulo.

Passo 3

A integral dupla pode ser resolvida integrando primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em .

Passo 4

Vamos escrever a integral como . Isso significa que, para cada valor fixo de , vamos integrar de até .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna: integral1^2 x , dx + integral1^2 y , dx . Como é constante em relação a , podemos separar a integral:
A primeira parte é a integral de , e a segunda é a integral de tratada como constante.

Passo 6

Calculando cada parte:
integral1^2 x , dx = [ x^22 ]1^2 = 2^22 - 1^22 = 42 - 12 = 32
integral1^2 y , dx = y cdot (2 - 1) = y
Então, a integral interna resulta em .

Passo 7

Agora, vamos integrar isso em relação a integral0^1 ( 32 + y ) dy = 32 integral0^1 dy + integral0^1 y , dy :
= 32 cdot 1 + [ y^22 ]0^1 = 32 + 12 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é .

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