Calcule integral duplaR f(x, y) d A, onde f(x, y)=x yraiz1+x^2+y^2; R é região (x y) in R^2 / 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre a região , que é o quadrado onde e . Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é uma parte da Matemática Avançada. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma mais clara. A integral que queremos calcular é:
integral duplaR xyraiz1 + x^2 + y^2 , dA = integral0^1 integral0^1 xyraiz1 + x^2 + y^2 , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a 1 e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 3

Vamos focar na integração interna, ou seja, a parte que integra em relação a integral0^1 xyraiz1 + x^2 + y^2 , dy . Vamos considerar u = 1 + x^2 + y^2 como uma constante durante essa integração.
A integral interna é:
dudy = 2y Rightarrow y , dy = du2
Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral x cdot yraizu , dy = integral x2 cdot u^-1/2 , du = x2 cdot integral u^-1/2 , du
A integral de x2 cdot 2u^1/2 = x raizu é u = 1 + x^2 + 0^2 = 1 + x^2 , então:
u = 1 + x^2 + 1^2 = 2 + x^2
Agora, voltando aos limites de integração. Quando x ( raiz2 + x^2 - raiz1 + x^2 ) :
E quando :
Então, substituindo os limites:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa em relação a integral0^1 x ( raiz2 + x^2 - raiz1 + x^2 ) dx :
integral0^1 x raiz2 + x^2 , dx - integral0^1 x raiz1 + x^2 , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida por substituição similar à anterior.
Para a primeira integral, definimos integral x raiz2 + x^2 , dx = 12 integral u^1/2 , du = 13 u^3/2 + C = 13 (2 + x^2)^3/2 + C :
13 ( (3)^3/2 - (2)^3/2 ) = 13 ( 3raiz3 - 2raiz2 )
Então:
du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2
Avaliando de 0 a 1:
integral x raiz1 + x^2 , dx = 12 integral u^1/2 , du = 13 u^3/2 + C = 13 (1 + x^2)^3/2 + C
Para a segunda integral, definimos 13 ( 2^3/2 - 1^3/2 ) = 13 ( 2raiz2 - 1 ) :
Então:
Avaliando de 0 a 1:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
( 13 ( 3raiz3 - 2raiz2 ) ) - ( 13 ( 2raiz2 - 1 ) ) = raiz3 - 43 raiz2 + 13

Resposta

A integral dupla vale:
raiz3 + 13 - 43 raiz2

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