Calcule
, onde
; R é região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função
sobre a região
, que é o quadrado onde
e
. Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é uma parte da Matemática Avançada. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma mais clara. A integral que queremos calcular é:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de 0 a 1 e depois em relação a
de 0 a 1.
Passo 3
Vamos focar na integração interna, ou seja, a parte que integra em relação a
. Vamos considerar
como uma constante durante essa integração.
A integral interna é:
Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
A integral de
é
, então:
Agora, voltando aos limites de integração. Quando
:
E quando
:
Então, substituindo os limites:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa em relação a
:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida por substituição similar à anterior.
Para a primeira integral, definimos
:
Então:
Avaliando de 0 a 1:
Para a segunda integral, definimos
:
Então:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral dupla vale: