Calcule 
 , onde 
 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a dupla integral , onde a região 
  é o retângulo 
 . Vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrando primeiro em relação a 
  e depois em relação a 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a dupla integral como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar em 
  de 0 a 
  e depois em 
  de 1 a 2:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral interna . Para resolver isso, usamos o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. A fórmula de integração por partes é:
Aqui, escolhemos 
  e .
Passo 4
Calculamos 
  e 
 :
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Resolvemos a segunda integral 
 :
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão de 
  a 
 :
Passo 7
Substituímos de volta na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida usando técnicas de integração adicionais, como substituição ou integração por partes novamente, se necessário.
Resposta
A dupla integral  é igual a:
Esse valor representa a área sob a superfície  sobre a região 
 .