Calcule a integral.
8.
8.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Dados fornecidos:
- A função integranda é
. - Queremos calcular
.
Passo 2
Observação útil para simplificar a integral: veja a expressão do denominador
. Vamos calcular a derivada desse denominador em relação a
:
Repare que a derivada do denominador é exatamente o numerador da integranda. Isso é um sinal claro de que uma substituição do tipo
(denominador) vai simplificar a integral.
Passo 3
Fazemos a substituição expondo cada passo:
Então a diferencial
é
Portanto, a parte
da integral é simplesmente
. Substituindo na integral original obtemos:
Passo 4
Agora calculamos a integral em
. A primitiva de
é o logaritmo natural (com valor absoluto):
onde
é a constante de integração. Note que, no nosso caso,
é sempre positivo para todo
, logo
, mas manterei o valor absoluto por rigor.
Passo 5
Voltando à variável original
substituindo
, obtemos a primitiva final:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida, deve-se recuperar a integranda. Fazendo a derivada,
que coincide com
. Está correto.