Calcule a integral.
8. f(t)=\frac{2 t}{4+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Dados fornecidos:
  • A função integranda é f(t)=\dfrac{2t}{4+t^{2}}.
  • Queremos calcular \displaystyle\int \frac{2t}{4+t^{2}}\,dt.

Passo 2

Observação útil para simplificar a integral: veja a expressão do denominador \,4+t^{2}\,. Vamos calcular a derivada desse denominador em relação a t:
\frac{d}{dt}\big(4+t^{2}\big)=2t.
Repare que a derivada do denominador é exatamente o numerador da integranda. Isso é um sinal claro de que uma substituição do tipo u= (denominador) vai simplificar a integral.

Passo 3

Fazemos a substituição expondo cada passo:
u = 4+t^{2}.
Então a diferencial du é
du = 2t\,dt.
Portanto, a parte 2t\,dt da integral é simplesmente du. Substituindo na integral original obtemos:
\int \frac{2t}{4+t^{2}}\,dt = \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Agora calculamos a integral em u. A primitiva de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural (com valor absoluto):
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
onde C é a constante de integração. Note que, no nosso caso, u=4+t^{2} é sempre positivo para todo t, logo |u|=u, mas manterei o valor absoluto por rigor.

Passo 5

Voltando à variável original t substituindo u=4+t^{2}, obtemos a primitiva final:
\int \frac{2t}{4+t^{2}}\,dt = \ln\!\big(4+t^{2}\big) + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida, deve-se recuperar a integranda. Fazendo a derivada,
\frac{d}{dt}\Big[\ln\!\big(4+t^{2}\big)\Big]=\frac{1}{4+t^{2}}\cdot 2t=\frac{2t}{4+t^{2}},
que coincide com f(t). Está correto.

Resposta

\displaystyle \int \frac{2t}{4+t^{2}}\,dt=\ln\!\big(4+t^{2}\big)+C