Calcule a integral.
5. g(t)=t^{3} \cos t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função g(t)=t^{3}\cos t, ou seja encontrar uma primitiva
\int t^{3}\cos t\,dt.
Informações dadas:
  • A função é t^{3}\cos t.
  • Queremos uma primitiva geral (ou seja, integrar indefinidamente), incluir a constante de integração C.

Passo 2

Método escolhido e por quê. Vou usar a técnica de integração por partes porque temos um produto entre um polinômio ( t^{3}) e uma função trigonométrica ( \cos t); regra prática: escolher u como o polinômio para reduzir seu grau a cada aplicação de partes, e dv como a parte trigonométrica para integrar facilmente. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função escolhida (a ser derivada),
  • dv é a outra parte do integrando (a ser integrada),
  • du é a derivada de u multiplicada por dt,
  • v é a primitiva de dv.

Passo 3

Primeira aplicação de integração por partes. Escolho
u = t^{3},\qquad dv = \cos t\,dt.
Então
du = 3t^{2}\,dt,\qquad v = \sin t.
Aplicando a fórmula:
\int t^{3}\cos t\,dt = t^{3}\sin t - \int \sin t \cdot 3t^{2}\,dt.
Escrevendo de forma mais simples:
\int t^{3}\cos t\,dt = t^{3}\sin t - 3\int t^{2}\sin t\,dt.

Passo 4

Segunda aplicação de integração por partes para \int t^{2}\sin t\,dt. Escolho
u = t^{2},\qquad dv = \sin t\,dt.
Então
du = 2t\,dt,\qquad v = -\cos t.
Portanto
\int t^{2}\sin t\,dt = -t^{2}\cos t - \int (-\cos t)\cdot 2t\,dt = -t^{2}\cos t + 2\int t\cos t\,dt.
Multiplicando por 3 (lembre que tínhamos -3 multiplicando essa integral):
3\int t^{2}\sin t\,dt = -3t^{2}\cos t + 6\int t\cos t\,dt.
Substituindo de volta em \int t^{3}\cos t\,dt:
\int t^{3}\cos t\,dt = t^{3}\sin t - \bigl(-3t^{2}\cos t + 6\int t\cos t\,dt\bigr).
Simplificando os sinais:
\int t^{3}\cos t\,dt = t^{3}\sin t + 3t^{2}\cos t - 6\int t\cos t\,dt.

Passo 5

Terceira aplicação de integração por partes para \int t\cos t\,dt. Escolho
u = t,\qquad dv = \cos t\,dt.
Então
du = dt,\qquad v = \sin t.
Aplicando a fórmula:
\int t\cos t\,dt = t\sin t - \int \sin t\,dt = t\sin t + \cos t,
pois \int \sin t\,dt = -\cos t. Agora substituo esse resultado na expressão anterior:
\int t^{3}\cos t\,dt = t^{3}\sin t + 3t^{2}\cos t - 6\bigl(t\sin t + \cos t\bigr).

Passo 6

Simplificar a expressão final e acrescentar a constante de integração C:
\int t^{3}\cos t\,dt = t^{3}\sin t + 3t^{2}\cos t - 6t\sin t - 6\cos t + C.
Fazer uma verificação rápida por diferenciação (checar que ao derivar obtemos t^{3}\cos t):
Derivando termo a termo (uso da regra do produto):
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\sin t\bigr) = 3t^{2}\sin t + t^{3}\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\cos t\bigr) = 6t\cos t - 3t^{2}\sin t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(-6t\sin t\bigr) = -6\sin t -6t\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(-6\cos t\bigr) = 6\sin t.
Somando:
(3t^{2}\sin t + t^{3}\cos t) + (6t\cos t - 3t^{2}\sin t) + (-6\sin t -6t\cos t) + (6\sin t) = t^{3}\cos t.
Os termos extras cancelam, sobrando t^{3}\cos t — verificação ok.

Resposta

\int t^{3}\cos t\,dt = t^{3}\sin t + 3t^{2}\cos t - 6t\sin t - 6\cos t + C