Calcule a integral.
5.
5.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função
, ou seja encontrar uma primitiva
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos uma primitiva geral (ou seja, integrar indefinidamente), incluir a constante de integração
.
Passo 2
Método escolhido e por quê. Vou usar a técnica de integração por partes porque temos um produto entre um polinômio (
) e uma função trigonométrica (
); regra prática: escolher
como o polinômio para reduzir seu grau a cada aplicação de partes, e
como a parte trigonométrica para integrar facilmente. A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função escolhida (a ser derivada), -
é a outra parte do integrando (a ser integrada), -
é a derivada de multiplicada por , -
é a primitiva de .
Passo 3
Primeira aplicação de integração por partes. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Escrevendo de forma mais simples:
Passo 4
Segunda aplicação de integração por partes para
. Escolho
Então
Portanto
Multiplicando por
(lembre que tínhamos
multiplicando essa integral):
Substituindo de volta em
:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Terceira aplicação de integração por partes para
. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
pois
. Agora substituo esse resultado na expressão anterior:
Passo 6
Simplificar a expressão final e acrescentar a constante de integração
:
Fazer uma verificação rápida por diferenciação (checar que ao derivar obtemos
):
Derivando termo a termo (uso da regra do produto):
-
. -
. -
. -
.
Somando:
Os termos extras cancelam, sobrando
— verificação ok.