Calcule a integral indefinida.
integral d xx raizln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral dxx raizln x. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve logaritmo natural e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
t = ln x
Isso significa que $ t $ é o logaritmo natural de $ x $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ t $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $ na integral. Derivando ambos os lados:
t
Então, rearranjando para $ dx $:
x

Passo 4

Substituímos $ t $ e $ dx $ na integral original:
t
Aqui, $ \ln x $ foi substituído por $ t $ e $ dx $ por $ x , dt $.

Passo 5

Simplificamos a expressão cancelando o $ x $:
x
Isso deixa a integral mais simples para resolver.

Passo 6

A integral integral dtraizt pode ser reescrita como:
integral t^-1/2 , dt
Sabemos que a integral de $ t^n $ é $ \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $, onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando a regra da potência:
integral t^-1/2 , dt = t^1/21/2 + C = 2 raizt + C

Passo 8

Lembrando que $ t = \ln x $, substituímos de volta:
t = ln x

Resposta

A integral indefinida é:
2 raizln x + C

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