Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve logaritmo natural e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Isso significa que $ t $ é o logaritmo natural de $ x $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ t $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $ na integral. Derivando ambos os lados:
Então, rearranjando para $ dx $:
Passo 4
Substituímos $ t $ e $ dx $ na integral original:
Aqui, $ \ln x $ foi substituído por $ t $ e $ dx $ por $ x , dt $.
Passo 5
Simplificamos a expressão cancelando o $ x $:
Isso deixa a integral mais simples para resolver.
Passo 6
A integral
pode ser reescrita como:
Sabemos que a integral de $ t^n $ é $ \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando a regra da potência:
Passo 8
Lembrando que $ t = \ln x $, substituímos de volta:
Resposta
A integral indefinida é: