Calcule a integral
, onde
é a parte da circunferência de raio 2 e centro na origem, com
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a parte da circunferência de raio
e centro na origem com
. Dados relevantes que extraí do enunciado:
- A curva
é a semicircunferência superior do círculo de raio , centrado na origem. - Portanto os pontos da curva satisfazem
e . - A integral é uma integral de uma função escalar ao longo do comprimento de arco: integra-se a função multiplicada por
(o elemento de comprimento de arco).
O que é pedido: calcular numericamente o valor dessa integral.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): parametrezar a semicircunferência com um parâmetro
, expressar
,
e
em função de
, substituir na integral e integrar em
no intervalo correspondente à semicircunferência superior.
Vou usar a parametrização clássica da circunferência de raio
:
com
variando de
a
para percorrer a semicircunferência com
. Esta parametrização cobre exatamente
.
Passo 3
Calcular
. Para uma curva parametrizada por
, tem-se
onde
.
Aqui
logo
Portanto
Passo 4
Substituir
e
na função integranda. A função é
. Usando
e
:
Logo
A integranda em função de
é
Multiplicando por
, o integrando total em
fica
Portanto a integral sobre
torna-se
Passo 5
Dividir a integral em três integrais mais simples:
Vou calcular cada uma separadamente.
Passo 6
Calcular
.
Isto é trivial:
Passo 7
Calcular
(segunda integral).
Fazer a substituição
. Então
, isto é
.
Os limites mudam: quando tem
; quando
tem
.
Os limites mudam: quando
Aplicando:
Trocando os limites para ordem crescente:
Como
é função par:
Portanto a segunda integral vale
Passo 8
Calcular
(primeira integral).
Primeiro manipulo
como
. Assim:
Faço a mesma substituição
,
. Com os mesmos limites
,
:
A função
é par, então
Calcular a diferença:
portanto
Multiplicando pelo
:
Logo a primeira integral vale
.
Passo 9
Somar os três resultados:
- primeira integral:
, - segunda integral:
, - terceira integral:
.
Somando as frações: escrever
com denominador
:
.
Então
Então
Portanto o valor total da integral é