Calcule a integral
\int_{C}\left(x^{2} y^{3}+x^{2} y+3\right) d s, onde C é a parte da circunferência de raio 2 e centro na origem, com y>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(x^{2} y^{3}+x^{2} y+3\right)\,d s,
onde C é a parte da circunferência de raio 2 e centro na origem com y>0. Dados relevantes que extraí do enunciado:
  • A curva C é a semicircunferência superior do círculo de raio 2, centrado na origem.
  • Portanto os pontos da curva satisfazem x^{2}+y^{2}=4 e y\ge0.
  • A integral é uma integral de uma função escalar ao longo do comprimento de arco: integra-se a função multiplicada por d s (o elemento de comprimento de arco).
O que é pedido: calcular numericamente o valor dessa integral.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): parametrezar a semicircunferência com um parâmetro t, expressar x, y e d s em função de t, substituir na integral e integrar em t no intervalo correspondente à semicircunferência superior.
Vou usar a parametrização clássica da circunferência de raio 2:
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,
com t variando de 0 a \pi para percorrer a semicircunferência com y\ge0. Esta parametrização cobre exatamente C.

Passo 3

Calcular d s. Para uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), tem-se
d s = \lVert r'(t)\rVert\,dt,
onde \lVert r'(t)\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
Aqui
x'(t)=-2\sin t,\qquad y'(t)=2\cos t,
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\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}=\sqrt{4\sin^{2}t+4\cos^{2}t}=\sqrt{4}=2.
Portanto
d s = 2\,dt.

Passo 4

Substituir x e y na função integranda. A função é x^{2}y^{3}+x^{2}y+3. Usando x=2\cos t e y=2\sin t:
x^{2}=(2\cos t)^{2}=4\cos^{2}t,
y=(2\sin t),\qquad y^{3}=(2\sin t)^{3}=8\sin^{3}t.
Logo
x^{2}y^{3}=4\cos^{2}t\cdot 8\sin^{3}t=32\cos^{2}t\sin^{3}t,
x^{2}y=4\cos^{2}t\cdot 2\sin t=8\cos^{2}t\sin t.
A integranda em função de t é
32\cos^{2}t\sin^{3}t+8\cos^{2}t\sin t+3.
Multiplicando por d s = 2\,dt, o integrando total em t fica
\bigl(32\cos^{2}t\sin^{3}t+8\cos^{2}t\sin t+3\bigr)\cdot 2 =64\cos^{2}t\sin^{3}t+16\cos^{2}t\sin t+6.
Portanto a integral sobre C torna-se
\int_{C}\bigl(x^{2}y^{3}+x^{2}y+3\bigr)\,d s =\int_{0}^{\pi}\bigl(64\cos^{2}t\sin^{3}t+16\cos^{2}t\sin t+6\bigr)\,dt.

Passo 5

Dividir a integral em três integrais mais simples:
I=\int_{0}^{\pi}64\cos^{2}t\sin^{3}t\,dt+\int_{0}^{\pi}16\cos^{2}t\sin t\,dt+\int_{0}^{\pi}6\,dt.
Vou calcular cada uma separadamente.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}6\,dt.
Isto é trivial:
\int_{0}^{\pi}6\,dt=6\bigl[t\bigr]_{0}^{\pi}=6\pi.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}16\cos^{2}t\sin t\,dt (segunda integral).
Fazer a substituição u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, isto é \sin t\,dt=-du.
Os limites mudam: quando t=0 tem u=\cos 0=1; quando t=\pi tem u=\cos\pi=-1.
Aplicando:
\int_{0}^{\pi}16\cos^{2}t\sin t\,dt =16\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt =16\int_{u=1}^{u=-1}u^{2}(-du).
Trocando os limites para ordem crescente:
16\int_{u=1}^{u=-1}u^{2}(-du)=16\int_{-1}^{1}u^{2}\,du.
Como u^{2} é função par:
\int_{-1}^{1}u^{2}\,du=2\int_{0}^{1}u^{2}\,du=2\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto a segunda integral vale
16\cdot\frac{2}{3}=\frac{32}{3}.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}64\cos^{2}t\sin^{3}t\,dt (primeira integral).
Primeiro manipulo \sin^{3}t como \sin^{2}t\cdot\sin t=(1-\cos^{2}t)\sin t. Assim:
64\cos^{2}t\sin^{3}t = 64\cos^{2}t(1-\cos^{2}t)\sin t =64\bigl(\cos^{2}t-\cos^{4}t\bigr)\sin t.
Faço a mesma substituição u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Com os mesmos limites u(0)=1, u(\pi)=-1:
\int_{0}^{\pi}64\cos^{2}t\sin^{3}t\,dt =64\int_{0}^{\pi}\bigl(\cos^{2}t-\cos^{4}t\bigr)\sin t\,dt =64\int_{u=1}^{u=-1}\bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)(-du) =64\int_{-1}^{1}\bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du.
A função u^{2}-u^{4} é par, então
\int_{-1}^{1}\bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du=2\int_{0}^{1}\bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du =2\left[\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right).
Calcular a diferença:
\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15},
portanto
2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=2\cdot\frac{2}{15}=\frac{4}{15}.
Multiplicando pelo 64:
64\cdot\frac{4}{15}=\frac{256}{15}.
Logo a primeira integral vale \dfrac{256}{15}.

Passo 9

Somar os três resultados:
  • primeira integral: \dfrac{256}{15},
  • segunda integral: \dfrac{32}{3},
  • terceira integral: 6\pi.
Somando as frações: escrever \dfrac{32}{3} com denominador 15: \dfrac{32}{3}=\dfrac{160}{15}.
Então
\frac{256}{15}+\frac{160}{15}=\frac{416}{15}.
Portanto o valor total da integral é
\frac{416}{15}+6\pi.

Resposta

\dfrac{416}{15}+6\pi