Calcule a integral.
\int \frac{x}{x^{2}+3 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{x^{2}+3x+2}\,dx.
Aqui usamos o conteúdo de integração de função racional via frações parciais: quando o denominador fatora em termos lineares, escrevemos o integrando como soma de termos do tipo \tfrac{1}{x+a} e depois integramos facilmente cada um.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio do denominador:
x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2).
Isso nos permite escrever
\frac{x}{(x+1)(x+2)}
como soma de duas frações simples.

Passo 3

Assumimos a decomposição
\frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2), ficamos com
x = A(x+2) + B(x+1).

Passo 4

Agora igualamos coeficientes. Expandindo o lado direito:
A(x+2)+B(x+1) = (A+B)\,x + (2A+B).
Comparando com x = 1\cdot x + 0\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 2A + B = 0. \end{cases}
Resolvendo, vem A=-1\] e \(B=2.

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
\int \frac{x}{(x+1)(x+2)}\,dx = \int\Bigl(-\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2}\Bigr)\,dx = -\int \frac{1}{x+1}\,dx + 2\int \frac{1}{x+2}\,dx.
Cada uma dessas integrais é do tipo \int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln\lvert x+a\rvert + C. Logo,
\int \frac{x}{x^{2}+3x+2}\,dx = -\ln\lvert x+1\rvert + 2\ln\lvert x+2\rvert + C.

Resposta

-\ln\lvert x+1\rvert + 2\ln\lvert x+2\rvert + C

Exercícios relacionados