Calcule a integral.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral definida, do tipo vetor, no intervalo
:
Informações dadas:
- Componente em
: . - Componente em
: . - Componente em
: .
Objetivo: calcular cada integral definida dea e montar o vetor resultado.
Passo 2
Regra fundamental que vamos usar: integração de campo vetorial componente a componente. Ou seja,
Então basta calcular as três integrais escalares separadamente.
Passo 3
Integral da componente
:
.
Fórmula usada: a derivada de
é
. Para ver rapidamente,
e
Como a derivada de
é exatamente o integrando, pela regra inversa (antiderivada)
Portanto a integral definida é
Passo 4
Integral da componente
:
.
Método: integração por partes. Regra de integração por partes (provém da regra do produto): para funções
e
,
Escolha típica para integrar
: tomar
(que se simplifica ao derivar) e
. Então
Aplico a fórmula:
Calculo o termo de fronteira:
Agora a integral restante:
. Uma primitiva de
é
, logo
Multiplicando pelo fator
que estava fora,
Portanto
Se desejar, pode-se reorganizar:
Passo 5
Integral da componente
:
.
Truque: usar identidade trigonométrica de produto para soma. A identidade é
Aqui com
obtemos
Logo
Uma primitiva de
é
. Portanto
Simplificando:
Passo 6
Resumo dos três resultados (cada um é a integral do componente correspondente):
- Componente
: - Componente
: - Componente
:
Agora restará apenas montar o vetor resultado com essas componentes (faço isso na seção de resposta final).