Calcule a integral.
\int_{0}^{1}(\operatorname{sec} t \tan t \mathbf{i}+t \cos 2 t \mathbf{j}+\sin 2 t \cos 2 t \mathbf{k}) d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral definida, do tipo vetor, no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\big(\operatorname{sec} t \tan t\,\mathbf{i}+t\cos 2t\,\mathbf{j}+\sin 2t\cos 2t\,\mathbf{k}\big)\,dt.
Informações dadas:
  • Componente em \mathbf{i}: \operatorname{sec} t \tan t.
  • Componente em \mathbf{j}: t\cos 2t.
  • Componente em \mathbf{k}: \sin 2t\cos 2t.
    Objetivo: calcular cada integral definida de 0 a 1 e montar o vetor resultado.

Passo 2

Regra fundamental que vamos usar: integração de campo vetorial componente a componente. Ou seja,
\int_{0}^{1}\big(f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{j}+h(t)\,\mathbf{k}\big)\,dt = \left(\int_{0}^{1}f(t)\,dt\right)\mathbf{i} +\left(\int_{0}^{1}g(t)\,dt\right)\mathbf{j} +\left(\int_{0}^{1}h(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Então basta calcular as três integrais escalares separadamente.

Passo 3

Integral da componente \mathbf{i}: \displaystyle \int_{0}^{1}\operatorname{sec} t \tan t\,dt.
Fórmula usada: a derivada de \operatorname{sec} t é \operatorname{sec} t\tan t. Para ver rapidamente, \operatorname{sec} t=(\cos t)^{-1} e
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = \frac{d}{dt}(\cos t)^{-1} = -1\cdot(\cos t)^{-2}\cdot(-\sin t)=\frac{\sin t}{\cos^2 t}=\operatorname{sec} t\tan t.
Como a derivada de \operatorname{sec} t é exatamente o integrando, pela regra inversa (antiderivada)
\int \operatorname{sec} t\tan t\,dt = \operatorname{sec} t + C.
Portanto a integral definida é
\int_{0}^{1}\operatorname{sec} t\tan t\,dt = \big[\operatorname{sec} t\big]_{0}^{1} = \operatorname{sec} 1 - \operatorname{sec} 0 = \operatorname{sec} 1 - 1.

Passo 4

Integral da componente \mathbf{j}: \displaystyle \int_{0}^{1} t\cos 2t\,dt.
Método: integração por partes. Regra de integração por partes (provém da regra do produto): para funções u(t) e v(t),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha típica para integrar t\cos 2t: tomar u=t (que se simplifica ao derivar) e dv=\cos 2t\,dt. Então
u=t,\quad du=dt,\quad dv=\cos 2t\,dt,\quad v=\int \cos 2t\,dt = \tfrac{1}{2}\sin 2t.
Aplico a fórmula:
\int_{0}^{1} t\cos 2t\,dt = \left[ t\cdot \tfrac{1}{2}\sin 2t \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}\sin 2t\,dt.
Calculo o termo de fronteira:
\left[ t\cdot \tfrac{1}{2}\sin 2t \right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\sin 2 - 0 = \tfrac{1}{2}\sin 2.
Agora a integral restante: \displaystyle \int_{0}^{1}\sin 2t\,dt. Uma primitiva de \sin 2t é -\tfrac{1}{2}\cos 2t, logo
\int_{0}^{1}\sin 2t\,dt = \left[-\tfrac{1}{2}\cos 2t\right]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{2}(\cos 2 - \cos 0) = -\tfrac{1}{2}(\cos 2 - 1) = \tfrac{1}{2}(1-\cos 2).
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora,
\int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}\sin 2t\,dt = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}(1-\cos 2) = \tfrac{1}{4}(1-\cos 2).
Portanto
\int_{0}^{1} t\cos 2t\,dt = \tfrac{1}{2}\sin 2 - \tfrac{1}{4}(1-\cos 2).
Se desejar, pode-se reorganizar:
\int_{0}^{1} t\cos 2t\,dt = \tfrac{1}{2}\sin 2 - \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4}\cos 2.

Passo 5

Integral da componente \mathbf{k}: \displaystyle \int_{0}^{1}\sin 2t\cos 2t\,dt.
Truque: usar identidade trigonométrica de produto para soma. A identidade é
\sin a\cos a = \tfrac{1}{2}\sin 2a.
Aqui com a=2t obtemos
\sin 2t\cos 2t = \tfrac{1}{2}\sin(4t).
Logo
\int_{0}^{1}\sin 2t\cos 2t\,dt = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin 4t\,dt.
Uma primitiva de \sin 4t é -\tfrac{1}{4}\cos 4t. Portanto
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin 4t\,dt = \tfrac{1}{2}\left[-\tfrac{1}{4}\cos 4t\right]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{8}(\cos 4 - \cos 0) = -\tfrac{1}{8}(\cos 4 - 1).
Simplificando:
\int_{0}^{1}\sin 2t\cos 2t\,dt = \tfrac{1}{8}(1-\cos 4).

Passo 6

Resumo dos três resultados (cada um é a integral do componente correspondente):
  • Componente \mathbf{i}: \displaystyle \int_{0}^{1}\operatorname{sec} t\tan t\,dt = \operatorname{sec} 1 - 1.
  • Componente \mathbf{j}: \displaystyle \int_{0}^{1} t\cos 2t\,dt = \tfrac{1}{2}\sin 2 - \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4}\cos 2.
  • Componente \mathbf{k}: \displaystyle \int_{0}^{1}\sin 2t\cos 2t\,dt = \tfrac{1}{8}(1-\cos 4).
Agora restará apenas montar o vetor resultado com essas componentes (faço isso na seção de resposta final).

Resposta

\displaystyle (\operatorname{sec} 1 - 1)\mathbf{i}+\Big(\tfrac{1}{2}\sin 2 - \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4}\cos 2\Big)\mathbf{j}+\Big(\tfrac{1}{8}(1-\cos 4)\Big)\mathbf{k}