Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular quatro integrais de vetores, cada uma com componentes nas direções
,
e
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral aplicado a vetores. Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente dentro dos limites indicados e depois juntar os resultados. Precisaremos lembrar das regras básicas de integração para funções polinomiais, racionais e trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Aqui, vamos integrar cada componente em relação a
de 0 a 2.
Passo 3
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Passo 4
A segunda integral é:
Vamos integrar as componentes
e
separadamente de 0 a 1.
Passo 5
Componente
:
Componente
:
Para essa, podemos usar uma substituição simples. Seja , então
, o que simplifica a integral:
Para essa, podemos usar uma substituição simples. Seja
Aplicando os limites:
Passo 6
A terceira integral é:
Vamos integrar cada componente em relação a
de 0 a
.
Passo 7
Componente
:
Usamos substituição onde , então :
Usamos substituição onde , então
Aplicando os limites:
Componente
:
Aqui, usamos , então :
Aqui, usamos
Aplicando os limites:
Componente
:
Novamente, substituição , :
Novamente, substituição ,
Aplicando os limites:
Passo 8
A última integral é:
Vamos integrar cada componente separadamente de 1 a 2.
Passo 9
Componente
:
Componente
:
Para essa integral, usamos substituição. Seja , então
e quando
,
;
,
:
Para essa integral, usamos substituição. Seja
Componente
:
Aqui, é uma função periódica. A integral de pode ser resolvida por partes:
Seja , então
; , então
.
Aplicando integração por partes:
Aqui,
Seja
Aplicando integração por partes:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Resposta
A soma das integrais é: