Calcule a integral
integralC L d x+M d y+n d z
em cada um dos seguintes casos: integralC y d x+z d y+x d z, com C a fronteira de x^2+y^2+z^2=a^2, x+y+z=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
integralC y , dx + z , dy + x , dz
onde é a curva que é a interseção da esfera com o plano . Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais de linha e, possivelmente, de teoremas como o de Stokes para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Ela é a interseção de uma esfera com um plano, o que resulta em um círculo. Portanto, é um círculo com raio , que vamos determinar.

Passo 3

Vamos encontrar o raio do círculo . Sabemos que o raio da esfera é . O plano passa pelo centro da esfera, então a distância do centro ao plano é zero. Assim, o raio do círculo de interseção é o mesmo da esfera, ou seja, .

Passo 4

Para calcular a integral de linha, podemos usar o teorema de Stokes. Este teorema relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por essa curva.

Passo 5

Vamos identificar o campo vetorial nabla times F = ( partial xpartial y - partial zpartial z, partial ypartial z - partial xpartial x, partial zpartial x - partial ypartial y ) . Precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial y = 0, partial zpartial z = 1
partial ypartial z = 0, partial xpartial x = 1
partial zpartial x = 0, partial ypartial y = 1
Então,
nabla times F = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1, -1)

Passo 7

Agora, aplicamos o teorema de Stokes:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
onde é uma superfície limitada por e é o vetor normal à superfície.

Passo 8

Escolhemos como o disco no plano com raio . O vetor normal a esse plano é .

Passo 9

Calculamos o produto escalar (-1, -1, -1) cdot 1raiz3(1, 1, 1) = -1 -1 -1raiz3 = -3raiz3 = -raiz3 :

Passo 10

A integral de superfície se torna:
integral duplaS -raiz3 , dS = -raiz3 cdot Área(S) Á
A área do disco é .

Passo 11

Portanto, a integral de linha é:
-raiz3 cdot pi a^2

Resposta

A integral vale .

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