Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral, interpretando-a em termos de áreas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - A instrução pede interpretação geométrica (áreas), portanto devemos pensar em qual curva essa raiz representa e qual área sob essa curva entre os limites corresponde.
Passo 2
Transformação algebráica para identificar a curva: defina
. Elevando ao quadrado (cuidado: isso corresponde à parte não-negativa de
),
Rearranjando,
Essa é a equação de um círculo de centro
e raio
. Como
toma a raiz principal (não-negativa), a curva dada por
é a semicircunferência superior (o ramo de cima) desse círculo.
Passo 3
Determine onde a integranda está definida: a expressão dentro da raiz exige
, ou seja
Note que esse intervalo coincide exatamente com os limites de integração do enunciado. Portanto, a integral
representa a área sob a semicircunferência superior do círculo de raio
e centro
, para
variando de
a
— isto é, a área de meia esfera (meio disco) de raio
.
Passo 4
Calcule a área geometricamente: a área de um círculo de raio
é
. Para um semicírculo (metade do disco) a área é
. Aqui
, logo
Portanto, pela interpretação geométrica, a integral vale
.
Passo 5
Verificação analítica rápida (opcional, para aprender outra técnica): faça a substituição
. Então
e os limites mudam para
e
. A integral fica
Usando substituição trigonométrica
(então
e
), os limites para
e
correspondem a
e
. Assim
Usando
,
Como
é zero nos extremos
, resta
confirmando o resultado geométrico.