Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas
\int_{-2}^{4} \sqrt{9-(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral, interpretando-a em termos de áreas:
\int_{-2}^{4} \sqrt{9-(x-1)^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função integranda é x \mapsto \sqrt{9-(x-1)^{2}}.
  • Os limites de integração são x=-2 e x=4.
  • A instrução pede interpretação geométrica (áreas), portanto devemos pensar em qual curva essa raiz representa e qual área sob essa curva entre os limites corresponde.

Passo 2

Transformação algebráica para identificar a curva: defina y=\sqrt{9-(x-1)^{2}}. Elevando ao quadrado (cuidado: isso corresponde à parte não-negativa de y),
y^{2}=9-(x-1)^{2}.
Rearranjando,
(x-1)^{2}+y^{2}=9.
Essa é a equação de um círculo de centro (1,0) e raio 3. Como y=\sqrt{\cdot} toma a raiz principal (não-negativa), a curva dada por y=\sqrt{9-(x-1)^{2}} é a semicircunferência superior (o ramo de cima) desse círculo.

Passo 3

Determine onde a integranda está definida: a expressão dentro da raiz exige 9-(x-1)^{2}\ge 0, ou seja
-3\le x-1\le 3 \quad\Longrightarrow\quad -2\le x\le 4.
Note que esse intervalo coincide exatamente com os limites de integração do enunciado. Portanto, a integral
\int_{-2}^{4} \sqrt{9-(x-1)^{2}}\,dx
representa a área sob a semicircunferência superior do círculo de raio 3 e centro (1,0), para x variando de -2 a 4 — isto é, a área de meia esfera (meio disco) de raio 3.

Passo 4

Calcule a área geometricamente: a área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. Para um semicírculo (metade do disco) a área é \tfrac{1}{2}\pi r^{2}. Aqui r=3, logo
\text{Área}=\frac{1}{2}\pi (3)^{2}=\frac{1}{2}\pi\cdot 9=\frac{9\pi}{2}.Á
Portanto, pela interpretação geométrica, a integral vale \tfrac{9\pi}{2}.

Passo 5

Verificação analítica rápida (opcional, para aprender outra técnica): faça a substituição u=x-1. Então du=dx e os limites mudam para u(-2)=-3 e u(4)=3. A integral fica
\int_{-3}^{3} \sqrt{9-u^{2}}\,du.
Usando substituição trigonométrica u=3\sin\theta (então du=3\cos\theta\,d\theta e \sqrt{9-u^{2}}=3\cos\theta), os limites para u=-3 e u=3 correspondem a \theta=-\tfrac{\pi}{2} e \theta=\tfrac{\pi}{2}. Assim
\int_{-3}^{3} \sqrt{9-u^{2}}\,du = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 3\cos\theta\cdot 3\cos\theta\,d\theta =9\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta.
Usando \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2},
9\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta = \frac{9}{2}\Bigl[\theta+\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}.
Como \sin(2\theta) é zero nos extremos \pm \tfrac{\pi}{2}, resta
\frac{9}{2}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr)=\frac{9}{2}\pi,
confirmando o resultado geométrico.

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi}{2}