Calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}}(x+4 y) d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} (x + 4y)\,dy\,dx
e pede que a calculemos. O procedimento é primeiro integrar em y (mantendo x constante) e depois em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{x^{2}} (x + 4y)\,dy = x \int_{0}^{x^{2}} dy \;+\; 4 \int_{0}^{x^{2}} y\,dy = x\bigl[y\bigr]_{0}^{x^{2}} + 4\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{x^{2}} = x\cdot x^{2} + 4\cdot \tfrac{(x^{2})^{2}}{2} = x^{3} + 2x^{4}.

Passo 3

Substituir esse resultado na integral externa em x:
\int_{0}^{1} (x^{3} + 2x^{4})\,dx = \int_{0}^{1} x^{3}\,dx \;+\; 2\int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\bigr]_{0}^{1} + 2\bigl[\tfrac{x^{5}}{5}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{2}{5} = \tfrac{13}{20}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{13}{20}

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