1. Calcule a integral de linha da função f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ao longo da curva parametrizada \mathbf{r}(t)=(t \cos t, t \operatorname{sen} t), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}f(x,y)\,ds
onde f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e a curva C é dada por \mathbf{r}(t)=(t\cos t,\;t\sin t), 0\le t\le1.
O conteúdo envolve integrar um campo escalar ao longo de uma curva, usando
\int_{a}^{b}f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos primeiro
\;f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\sqrt{(t\cos t)^{2}+(t\sin t)^{2}} =\sqrt{t^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)} =\sqrt{t^{2}} =t
pois t\ge0 no intervalo dado.

Passo 3

Agora derivamos \mathbf{r}(t)=(t\cos t,\;t\sin t),
\mathbf{r}'(t) =\bigl(\cos t -t\sin t,\;\sin t +t\cos t\bigr).
O módulo é
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{(\cos t -t\sin t)^{2}+(\sin t +t\cos t)^{2}} =\sqrt{1+t^{2}}.

Passo 4

A integral de linha torna-se
\int_{0}^{1}t\sqrt{1+t^{2}}\,dt.
Fazemos a substituição u=1+t^{2}, du=2t\,dt, logo
\int_{0}^{1}t\sqrt{1+t^{2}}\,dt =\frac{1}{2}\int_{u=1}^{2}u^{1/2}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{2} =\frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{2\sqrt{2}-1}{3}}

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