Calcule a integral de linha, onde C é a curva indicada ou dada pela função r.
\int_{C} x y^{4} d s, C é a metade do círculo x^{2}+y^{2}=1 \operatorname{com} x \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y^{4}\,d s,
onde C é a metade do círculo definido por \;x^{2}+y^{2}=1\; com \;x\geq 0\;. Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=x y^{4}.
  • A curva C é a semicircunferência do círculo de raio 1 (unidade) correspondente à metade direita (porque \;x\geq 0\;).
  • A integral é do tipo “função escalar ao longo de uma curva” com diferencial de comprimento de arco d s.
  • O enunciado não especifica orientação; para integrais com d s (elemento de comprimento) a orientação não altera o valor.

Passo 2

Regra prática (fórmula) para calcular integrais de linha de uma função escalar sobre uma curva parametrizada: se a curva C é dada por uma parametrização
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)),\qquad t\in[a,b],
então
\int_{C} f(x,y)\,d s = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.
Explicando as peças dessa fórmula:
  • t é um parâmetro que percorre a curva de um ponto inicial a um final.
  • x(t) e y(t) são as coordenadas da curva em função de t.
  • \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor e \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| é sua norma, que dá a velocidade escalar (quanto arc‑comprimento aumenta por unidade de t).
  • Ao substituir f(x,y) por f(x(t),y(t)) e multiplicar por \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|, obtemos a integral em termos de t.
Agora vamos parametrizar a semicircunferência x^{2}+y^{2}=1 com x\geq 0. A parametrização padrão do círculo de raio 1 é
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t).
Para cobrir a metade com x\geq 0 escolhemos o intervalo
t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
pois para esses t temos \cos t\geq 0. (Essa escolha vai de (0,-1) em t=-\tfrac{\pi}{2} até (0,1) em t=\tfrac{\pi}{2}.)

Passo 3

Calculemos \mathbf{r}'(t) e sua norma:
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t), \qquad \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1.
Portanto d s=\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|dt=dt.
Substituindo x=\cos t e y=\sin t na função f(x,y)=x y^{4} e usando d s=dt, a integral transforma-se em
\int_{C} x y^{4}\,d s = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} (\cos t)(\sin^{4}t)\,dt.

Passo 4

Resolvendo a integral
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos t\,\sin^{4}t\,dt.
Uma substituição direta e natural aqui é \;u=\sin t\;, porque du=\cos t\,dt. Quando t=-\tfrac{\pi}{2} tem-se u=-1, e quando t=\tfrac{\pi}{2} tem-se u=1. Assim
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos t\,\sin^{4}t\,dt = \int_{u=-1}^{u=1} u^{4}\,du.
Integrando o polinômio:
\int_{-1}^{1} u^{4}\,du = \left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{5}}{5} - \frac{(-1)^{5}}{5} = \frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5}.
(Comentário rápido: poderia-se também notar que a função \cos t\,\sin^{4}t é par, então a integral simétrica de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2} é o dobro da integral de 0 a \tfrac{\pi}{2}; mas a substituição u=\sin t é direta e limpa.)

Resposta

\dfrac{2}{5}