Calcule a integral de linha, onde C é a curva indicada ou dada pela função r. \int_{C} x y^{4} d s, C é a metade do círculo x^{2}+y^{2}=1 \operatorname{com} x \geq 0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y^{4}\,d s,
onde C é a metade do círculo definido por \;x^{2}+y^{2}=1\; com \;x\geq 0\;. Informações dadas e o que é pedido:
A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=x y^{4}.
A curva C é a semicircunferência do círculo de raio 1 (unidade) correspondente à metade direita (porque \;x\geq 0\;).
A integral é do tipo “função escalar ao longo de uma curva” com diferencial de comprimento de arco d s.
O enunciado não especifica orientação; para integrais com d s (elemento de comprimento) a orientação não altera o valor.
Passo 2
Regra prática (fórmula) para calcular integrais de linha de uma função escalar sobre uma curva parametrizada: se a curva C é dada por uma parametrização
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)),\qquad t\in[a,b],
então
\int_{C} f(x,y)\,d s = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.
Explicando as peças dessa fórmula:
t é um parâmetro que percorre a curva de um ponto inicial a um final.
x(t) e y(t) são as coordenadas da curva em função de t.
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor e \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| é sua norma, que dá a velocidade escalar (quanto arc‑comprimento aumenta por unidade de t).
Ao substituir f(x,y) por f(x(t),y(t)) e multiplicar por \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|, obtemos a integral em termos de t.
Agora vamos parametrizar a semicircunferência x^{2}+y^{2}=1 com x\geq 0. A parametrização padrão do círculo de raio 1 é
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t).
Para cobrir a metade com x\geq 0 escolhemos o intervalo
t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
pois para esses t temos \cos t\geq 0. (Essa escolha vai de (0,-1) em t=-\tfrac{\pi}{2} até (0,1) em t=\tfrac{\pi}{2}.)
Uma substituição direta e natural aqui é \;u=\sin t\;, porque du=\cos t\,dt. Quando t=-\tfrac{\pi}{2} tem-se u=-1, e quando t=\tfrac{\pi}{2} tem-se u=1. Assim
(Comentário rápido: poderia-se também notar que a função \cos t\,\sin^{4}t é par, então a integral simétrica de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2} é o dobro da integral de 0 a \tfrac{\pi}{2}; mas a substituição u=\sin t é direta e limpa.)