Calcule a integral de superfície
9. integral duplaS raiz1+x^2+y^2 d S, S é o helicoide com equação vetorial r(u, v)=u cos v i+u sen v j+v k, 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é um helicoide definido pela equação vetorial , com e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e parametrizações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa calcular uma integral de superfície. Basicamente, estamos somando os valores da função sobre toda a área da superfície . Para isso, vamos parametrizar a superfície e expressar a integral em termos das variáveis e .

Passo 3

A superfície está parametrizada por . Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar os vetores tangentes e , que são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular ru = partial rpartial u = cos v i + sin v j e rv = partial rpartial v = -u sin v i + u cos v j + k :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o produto vetorial ru times rv = i & j & k cos v & sin v & 0 - u sin v & u cos v & 1 para calcular a área diferencial ru times rv = (sin v cdot 1 - 0 cdot u cos v)i - (cos v cdot 1 - 0 cdot (-u sin v))j + (cos v cdot u cos v - sin v cdot (-u sin v))k . Vamos fazer isso:
ru times rv = sin v i - cos v j + u (cos^2 v + sin^2 v) k
Calculando o determinante:
ru times rv = sin v i - cos v j + u k
Simplificando:
Como :

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para obter |ru times rv| = raiz(sin v)^2 + (-cos v)^2 + u^2 = raizsin^2 v + cos^2 v + u^2 = raiz1 + u^2 :
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplaS raiz1+x^2+y^2 , dS = integral0^pi integral0^1 raiz1 + x^2 + y^2 cdot raiz1 + u^2 , du , dv
Mas sabemos que raiz1 + x^2 + y^2 = raiz1 + u^2 cos^2 v + u^2 sin^2 v = raiz1 + u^2 (cos^2 v + sin^2 v) = raiz1 + u^2 e , então:

Passo 8

Portanto, a integral simplifica para:
integral0^pi integral0^1 raiz1 + u^2 cdot raiz1 + u^2 , du , dv = integral0^pi integral0^1 (1 + u^2) , du , dv

Passo 9

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^1 (1 + u^2) , du = [ u + u^33 ]0^1 = 1 + 13 = 43 :

Passo 10

Agora, calculamos a integral externa em relação a integral0^pi 43 , dv = 43 cdot pi = 4pi3 :

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados