Calcule integral e^t sin (2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular integral e^t sin (2 t) , dt. Isso envolve técnicas de cálculo integral, especificamente a integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e talvez usar um método de repetição para chegar ao resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa expressão serão u e dv. No caso, vamos deixar:
  • u = sin(2t)
  • dv = e^t , dt

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv para encontrar du e v:
  • Derivando u:
    du = ddt sin(2t) , dt = 2 cos(2t) , dt
  • Integrando dv:
    v = integral e^t , dt = e^t

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^t sin(2t) , dt = u , v - integral v , du = sin(2t) cdot e^t - integral e^t cdot 2 cos(2t) , dt
Simplificando:
= e^t sin(2t) - 2 integral e^t cos(2t) , dt

Passo 5

Agora, nos deparamos com outra integral: integral e^t cos(2t) , dt. Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolvê-la.
Escolhendo:
  • u = cos(2t)
  • dv = e^t , dt

Passo 6

Derivando u e integrando dv:
  • Derivando u:
    du = ddt cos(2t) , dt = -2 sin(2t) , dt
  • Integrando dv:
    v = integral e^t , dt = e^t

Passo 7

Aplicando integração por partes novamente:
integral e^t cos(2t) , dt = u , v - integral v , du = cos(2t) cdot e^t - integral e^t cdot (-2 sin(2t)) , dt
Simplificando:
= e^t cos(2t) + 2 integral e^t sin(2t) , dt

Passo 8

Voltando à equação anterior:
integral e^t sin(2t) , dt = e^t sin(2t) - 2 ( e^t cos(2t) + 2 integral e^t sin(2t) , dt )
Distribuindo o -2:
= e^t sin(2t) - 2 e^t cos(2t) - 4 integral e^t sin(2t) , dt

Passo 9

Vamos chamar a integral original de I:
I = e^t sin(2t) - 2 e^t cos(2t) - 4I
Agora, vamos isolar I:
I + 4I = e^t sin(2t) - 2 e^t cos(2t)
5I = e^t sin(2t) - 2 e^t cos(2t)

Passo 10

Finalmente, dividindo ambos os lados por 5 para encontrar I:
I = e^t sin(2t) - 2 e^t cos(2t)5 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral e^t sin(2t) , dt = e^t (sin(2t) - 2 cos(2t))5 + C

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