Calcule a integral de volume para:
\rho v=10 z e^{-0,1 x} \operatorname{sen} \pi y:-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1,3 \leq z \leq 3,6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de volume da função densidade/fluxo dada em todo o paralelepípedo definido pelas desigualdades. Informações fornecidas:
  • A função a integrar é \rho v = 10\,z\,e^{-0,1 x}\,\operatorname{sen}(\pi y).
  • Os limites são
    • -1 \leq x \leq 2,
    • 0 \leq y \leq 1,
    • 3 \leq z \leq 3,6.
      A tarefa é calcular
\iiint_{V} 10\,z\,e^{-0,1 x}\,\operatorname{sen}(\pi y)\,dV
onde V é o paralelepípedo com os limites acima.

Passo 2

Observação sobre a forma da integral (motivação didática): como os limites são constantes (região retangular em coordenadas cartesianas) e o integrando é produto de funções que dependem separadamente de x, y e z, podemos usar a propriedade de Fubini para separar a integral em um produto de integrais unidimensionais. Em termos práticos:
\iiint_{V} 10\,z\,e^{-0,1 x}\,\operatorname{sen}(\pi y)\,dV =10\left(\int_{x=-1}^{2} e^{-0,1 x}\,dx\right) \left(\int_{y=0}^{1} \operatorname{sen}(\pi y)\,dy\right) \left(\int_{z=3}^{3,6} z\,dz\right).
Explicando a ideia: quando a região é um produto de intervalos e o integrando é uma função separável f(x)g(y)h(z) (aqui com o fator 10), a integral tripla é o produto das integrais simples correspondentes.

Passo 3

Calcule a integral em x:
  • Regra usada: para a\neq 0, \displaystyle\int e^{a x}\,dx=\dfrac{e^{a x}}{a}. Aqui a=-0,1.
  • Então
\int_{-1}^{2} e^{-0,1 x}\,dx =\left[\dfrac{e^{-0,1 x}}{-0,1}\right]_{-1}^{2} =-10\bigl(e^{-0,2}-e^{0,1}\bigr) =10\bigl(e^{0,1}-e^{-0,2}\bigr).
Detalhe do sinal: como a constante a é negativa, divide-se por -0,1 que é -\tfrac{1}{10}, resultando em fator -10; a diferença de valores inverte o sinal e dá a forma final positiva acima.

Passo 4

Calcule a integral em y:
  • Regra usada: \displaystyle\int \operatorname{sen}(k y)\,dy = -\dfrac{\cos(k y)}{k}.
  • Aqui k=\pi, portanto
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}(\pi y)\,dy =\left[-\dfrac{\cos(\pi y)}{\pi}\right]_{0}^{1} =-\dfrac{\cos(\pi)-\cos(0)}{\pi} =-\dfrac{(-1)-1}{\pi} =\dfrac{2}{\pi}.
Interpretação rápida: a integral de um seno por um período inteiro dá um valor simples; neste caso dá 2/\pi.

Passo 5

Calcule a integral em z:
  • Regra usada: \displaystyle\int z\,dz = \dfrac{z^{2}}{2}.
  • Avaliando nos limites:
\int_{3}^{3,6} z\,dz =\left[\dfrac{z^{2}}{2}\right]_{3}^{3,6} =\dfrac{3,6^{2}-3^{2}}{2} =\dfrac{12,96-9}{2} =\dfrac{3,96}{2} =1,98.
(foi usado 3,6^{2}=12,96.)

Passo 6

Junte tudo: multiplicando os fatores obtidos e lembrando o fator externo 10:
\iiint_{V} 10\,z\,e^{-0,1 x}\,\operatorname{sen}(\pi y)\,dV =10\cdot\Bigl[10\bigl(e^{0,1}-e^{-0,2}\bigr)\Bigr]\cdot\frac{2}{\pi}\cdot 1,98.
Simplificando os fatores numéricos:
10\cdot 10 \cdot 2 \cdot 1,98 = 396,
logo a integral pode ser escrita de forma exata como
\frac{396}{\pi}\,\bigl(e^{0,1}-e^{-0,2}\bigr).

Passo 7

Cálculo aproximado (para ter uma noção numérica):
  • e^{0,1}\approx 1,1051701859,
  • e^{-0,2}\approx 0,8187307531,
  • diferença \approx 0,2864394329.
    Multiplicando:
\frac{396}{\pi}\cdot 0,2864394329 \approx 36,1176.
Arredondando, o valor numérico da integral é aproximadamente 36,12.

Resposta

\frac{396}{\pi}\,\bigl(e^{0,1}-e^{-0,2}\bigr)\approx 36,1176

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