Calcule a integral de volume para:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de volume da função densidade/fluxo dada em todo o paralelepípedo definido pelas desigualdades. Informações fornecidas:
- A função a integrar é
. - Os limites são
-
, -
, -
.
A tarefa é calcular
-
onde
é o paralelepípedo com os limites acima.
Passo 2
Observação sobre a forma da integral (motivação didática): como os limites são constantes (região retangular em coordenadas cartesianas) e o integrando é produto de funções que dependem separadamente de
,
e
, podemos usar a propriedade de Fubini para separar a integral em um produto de integrais unidimensionais. Em termos práticos:
Explicando a ideia: quando a região é um produto de intervalos e o integrando é uma função separável
(aqui com o fator 10), a integral tripla é o produto das integrais simples correspondentes.
Passo 3
Calcule a integral em
:
- Regra usada: para
, . Aqui . - Então
Detalhe do sinal: como a constante
é negativa, divide-se por
que é
, resultando em fator
; a diferença de valores inverte o sinal e dá a forma final positiva acima.
Passo 4
Calcule a integral em
:
- Regra usada:
. - Aqui
, portanto
Interpretação rápida: a integral de um seno por um período inteiro dá um valor simples; neste caso dá
.
Passo 5
Calcule a integral em
:
- Regra usada:
. - Avaliando nos limites:
(foi usado
.)
Passo 6
Junte tudo: multiplicando os fatores obtidos e lembrando o fator externo
:
Simplificando os fatores numéricos:
logo a integral pode ser escrita de forma exata como
Passo 7
Cálculo aproximado (para ter uma noção numérica):
-
, -
, - diferença
.
Multiplicando:
Arredondando, o valor numérico da integral é aproximadamente
.