Calcule a integral de volume para:
\rho v=\frac{3 \pi \operatorname{sen} \theta \cos ^{2} \varphi}{2 r^{2}\left(r^{2}+1\right)}, em todo espaço.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de volume em todo o espaço da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função a integrar (densidade multiplicada por velocidade, digamos) é \displaystyle \rho v=\frac{3\pi \sin\theta\cos^{2}\varphi}{2\,r^{2}\bigl(r^{2}+1\bigr)}.
  • A integração deve ser feita “em todo o espaço” (ou seja, sobre \mathbb{R}^{3}).

Passo 2

Escolha de coordenadas e limites. Quando a expressão já está em termos de (r,\theta,\varphi) e aparece \sin\theta, o jeito natural é usar coordenadas esféricas. Lembrete prático das esféricas (convenção padrão):
  • r\in[0,\infty) é a distância ao centro,
  • \theta\in[0,\pi] é o ângulo polar (do eixo z),
  • \varphi\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal (no plano xy).
    O elemento de volume em esféricas é \displaystyle dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
    Portanto, a integral de volume procurada é
\iiint_{\mathbb{R}^3} \frac{3\pi \sin\theta\cos^{2}\varphi}{2\,r^{2}\bigl(r^{2}+1\bigr)}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{3\pi \sin\theta\cos^{2}\varphi}{2\,r^{2}\bigl(r^{2}+1\bigr)}\;r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Simplificação do integrando usando o r^{2} do Jacobiano. Ao multiplicar pelo elemento de volume temos cancelamento de r^{2}:
\frac{3\pi \sin\theta\cos^{2}\varphi}{2\,r^{2}\bigl(r^{2}+1\bigr)}\;r^{2}\sin\theta =\frac{3\pi\,\sin^{2}\theta\;\cos^{2}\varphi}{2\bigl(r^{2}+1\bigr)}.
Logo a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{3\pi\,\sin^{2}\theta\;\cos^{2}\varphi}{2\bigl(r^{2}+1\bigr)}\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Separação das integrais (variáveis independentes). A expressão é produto de uma função que depende só de r, outra só de \theta e outra só de \varphi, portanto a integral tripla separa:
\frac{3\pi}{2}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}+1}\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\right) \left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi\right).
Agora calculamos cada uma das três integrais simples.

Passo 5

Cálculo da integral radial \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}+1}.
  • Conhecimento útil: \displaystyle \int\frac{dr}{r^{2}+1}=\arctan r + C.
  • Avaliando os limites,
\int_{0}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}+1}=\lim_{R\to\infty}\bigl[\arctan r\bigr]_{0}^{R} =\lim_{R\to\infty}\arctan R-\arctan 0=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Cálculo da integral angular em \theta: \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
  • Use a identidade de meia-ângulo \displaystyle \sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
  • Então
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Bigl[\theta-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr]_{0}^{\pi}.
  • Avaliando: \sin(2\theta) vale zero em 0 e em \pi, então sobra
\frac{1}{2}\bigl(\pi-0\bigr)=\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Cálculo da integral angular em \varphi: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
  • Use a identidade \displaystyle \cos^{2}\varphi=\frac{1+\cos(2\varphi)}{2}.
  • Então
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\varphi\,d\varphi=\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\varphi)}{2}\,d\varphi =\frac{1}{2}\Bigl[\varphi+\tfrac{1}{2}\sin(2\varphi)\Bigr]_{0}^{2\pi}.
  • Novamente \sin(2\varphi) é zero em 0 e 2\pi, logo sobra
\frac{1}{2}\bigl(2\pi-0\bigr)=\pi.

Passo 8

Multiplicação de todos os fatores. Substituindo os resultados:
  • constante: \displaystyle \frac{3\pi}{2},
  • integral radial: \displaystyle \frac{\pi}{2},
  • integral em \theta: \displaystyle \frac{\pi}{2},
  • integral em \varphi: \displaystyle \pi.
Produto:
\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\pi =\frac{3\pi^{4}}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi^{4}}{8}

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