Calcule a integral de volume para:
, em todo espaço.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de volume em todo o espaço da função dada. As informações fornecidas são:
- A função a integrar (densidade multiplicada por velocidade, digamos) é
. - A integração deve ser feita “em todo o espaço” (ou seja, sobre
).
Passo 2
Escolha de coordenadas e limites. Quando a expressão já está em termos de
e aparece
, o jeito natural é usar coordenadas esféricas. Lembrete prático das esféricas (convenção padrão):
-
é a distância ao centro, -
é o ângulo polar (do eixo ), -
é o ângulo azimutal (no plano ).
O elemento de volume em esféricas é.
Portanto, a integral de volume procurada é
Passo 3
Simplificação do integrando usando o
do Jacobiano. Ao multiplicar pelo elemento de volume temos cancelamento de
:
Logo a integral fica
Passo 4
Separação das integrais (variáveis independentes). A expressão é produto de uma função que depende só de
, outra só de
e outra só de
, portanto a integral tripla separa:
Agora calculamos cada uma das três integrais simples.
Passo 5
Cálculo da integral radial
.
- Conhecimento útil:
. - Avaliando os limites,
Passo 6
Cálculo da integral angular em
:
.
- Use a identidade de meia-ângulo
. - Então
- Avaliando:
vale zero em e em , então sobra
Passo 7
Cálculo da integral angular em
:
.
- Use a identidade
. - Então
- Novamente
é zero em e , logo sobra
Passo 8
Multiplicação de todos os fatores. Substituindo os resultados:
- constante:
, - integral radial:
, - integral em
: , - integral em
: .
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