Calcule a integral.
integral e^-x sen(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de . Aqui, estamos trabalhando com integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos chamar de integral u , dv = u cdot v - integral v , du e du = ddx[sen(3x)] , dx = 3cos(3x) , dx na fórmula da integração por partes:
v = integral e^-x , dx = -e^-x
Vamos escolher:
Agora, precisamos calcular e :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral du = ddx[cos(3x)] , dx = -3sen(3x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.
Escolhemos:
  • v = integral e^-x , dx = -e^-x
Calculando e :

Passo 5

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^-x cos(3x) , dx = u cdot v - integral v , du

Passo 6

Vamos chamar a integral original de I = integral e^-x sen(3x) , dx :
Substituindo na equação que obtivemos:

Passo 7

Agora, vamos resolver para I + 9I = -e^-x sen(3x) - 3e^-x cos(3x) :

Resposta

A integral é igual a
onde integral e^-x sen(3x) , dx = -e^-x sen(3x) - 3e^-x cos(3x) 10 + C é a constante de integração.

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