Calcule a integral.
6. y=\frac{e^{x}}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função a integrar é y=\dfrac{e^{x}}{1+x}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{e^{x}}{1+x}, isto é, calcular
\int \frac{e^{x}}{1+x}\,dx.

Passo 2

Primeiro vamos tentar uma substituição simples que frequentemente ajuda quando aparece 1+x no denominador. Seja a mudança de variável
u = 1+x.
Aqui u é a nova variável; então du = dx porque a derivada de 1+x em relação a x é 1. Também x = u-1. Substituímos na integral original.

Passo 3

Aplicando a substituição u=1+x na integral obtemos:
\int \frac{e^{x}}{1+x}\,dx = \int \frac{e^{u-1}}{u}\,du.
Fatorando e^{-1} (constante) para fora do integrando:
\int \frac{e^{u-1}}{u}\,du = e^{-1}\int \frac{e^{u}}{u}\,du.
Portanto o problema se reduz a encontrar uma primitiva de \dfrac{e^{u}}{u}.

Passo 4

A função \dfrac{e^{u}}{u} não possui primitiva expressável em termos das funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, etc.). Para esse tipo de integral usa-se uma função especial chamada função exponencial integral, denotada por \operatorname{Ei}. A definição (uma forma útil) é que \operatorname{Ei} satisfaz a propriedade de derivação
\frac{d}{du}\!\left(\operatorname{Ei}(u)\right)=\frac{e^{u}}{u}.
Usando essa propriedade, obtemos imediatamente uma primitiva para \dfrac{e^{u}}{u}:
\int \frac{e^{u}}{u}\,du = \operatorname{Ei}(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x (lembre que u=1+x) e lembrando do fator e^{-1} que estava fora da integral, a primitiva da função original é
\int \frac{e^{x}}{1+x}\,dx = e^{-1}\operatorname{Ei}(1+x) + C.
Para checar, diferencie a expressão encontrada:
\frac{d}{dx}\!\left(e^{-1}\operatorname{Ei}(1+x)\right) = e^{-1}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\operatorname{Ei}(1+x)\right) = e^{-1}\cdot\frac{e^{1+x}}{1+x} = \frac{e^{x}}{1+x},
ou seja, recuperamos exatamente o integrando, confirmação de que a primitiva está correta.

Passo 6

Comentário útil para prova: se for necessário um valor numérico aproximado da integral indefinida em algum ponto, pode-se usar a expansão em série de \operatorname{Ei} ou calcular numericamente. Também é comum ver a antiderivada escrita como \dfrac{1}{e}\operatorname{Ei}(1+x)+C; ambas são equivalentes. Não tente forçar métodos elementares (substituição simples, partes, frações parciais) porque a primitiva realmente precisa da função especial \operatorname{Ei}.

Resposta

\frac{1}{e}\operatorname{Ei}(1+x)+C