Calcule a integral.
6.
6.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral da função dada. As informações fornecidas são:
- A função a integrar é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) de
, isto é, calcular
Passo 2
Primeiro vamos tentar uma substituição simples que frequentemente ajuda quando aparece
no denominador. Seja a mudança de variável
Aqui
é a nova variável; então
porque a derivada de
em relação a
é
. Também
. Substituímos na integral original.
Passo 3
Aplicando a substituição
na integral obtemos:
Fatorando
(constante) para fora do integrando:
Portanto o problema se reduz a encontrar uma primitiva de
.
Passo 4
A função
não possui primitiva expressável em termos das funções elementares usuais (polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, etc.). Para esse tipo de integral usa-se uma função especial chamada função exponencial integral, denotada por
. A definição (uma forma útil) é que
satisfaz a propriedade de derivação
Usando essa propriedade, obtemos imediatamente uma primitiva para
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original
(lembre que
) e lembrando do fator
que estava fora da integral, a primitiva da função original é
Para checar, diferencie a expressão encontrada:
ou seja, recuperamos exatamente o integrando, confirmação de que a primitiva está correta.
Passo 6
Comentário útil para prova: se for necessário um valor numérico aproximado da integral indefinida em algum ponto, pode-se usar a expansão em série de
ou calcular numericamente. Também é comum ver a antiderivada escrita como
; ambas são equivalentes. Não tente forçar métodos elementares (substituição simples, partes, frações parciais) porque a primitiva realmente precisa da função especial
.