Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s). (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
F(s) = 1 / (s^2 * (s + 1)^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso está dentro da matéria de transformadas de Laplace, e para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais e algumas propriedades da transformada da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos quebrar a função em frações parciais. Queremos expressar na forma:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Vamos encontrar os valores de , , e substituindo valores estratégicos de .
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, expandimos a expressão geral e agrupamos os termos semelhantes:
Agrupando:
Comparando os coeficientes com o lado esquerdo da equação (que é 1), temos:
Já sabemos que e . Substituindo em :
E de :

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:

Resposta

Somando todos os termos, a transformada inversa de é:

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