Calcule k de modo que as raízes da equação
x^{2}-2 k x+k^{2}+k=0
sejam o seno e o cosseno de um mesmo ângulo.

Passo 1

O enunciado pede o valor de k de modo que as raízes da equação
x^{2} - 2k\,x + (k^{2}+k) = 0
sejam \sin\theta e \cos\theta para algum ângulo \theta.
Conteúdo: usaremos as relações de Viète (soma e produto das raízes) e a identidade trigonométrica
(\sin\theta + \cos\theta)^{2} = 1 + 2\,\sin\theta\cos\theta.

Passo 2

Pelas relações de Viète, se \alpha e \beta são raízes de
x^{2} - 2k\,x + (k^{2}+k)=0
então
\alpha + \beta = 2k, \qquad \alpha\,\beta = k^{2}+k.
Como queremos \alpha=\sin\theta e \beta=\cos\theta, escrevemos
\sin\theta + \cos\theta = 2k, \qquad \sin\theta\,\cos\theta = k^{2}+k.

Passo 3

Aplicamos a identidade
(\sin\theta + \cos\theta)^{2} = 1 + 2\,\sin\theta\cos\theta.
Substituindo \sin\theta + \cos\theta = 2k e \sin\theta\cos\theta = k^{2}+k, vem
(2k)^{2} = 1 + 2\,(k^{2}+k) \quad\Longrightarrow\quad 4k^{2} = 1 + 2k^{2} + 2k \quad\Longrightarrow\quad 2k^{2} -2k -1 = 0.

Passo 4

Resolvendo
2k^{2} -2k -1 = 0
pelo fórmula de Bhaskara, obtemos
k = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} -4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 +8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Precisamos que exista \theta\in\mathbb{R} com \sin\theta+\cos\theta=2k e \sin\theta\cos\theta=k^{2}+k.
Sabemos que \sin\theta+\cos\theta\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}] e \sin\theta\cos\theta\in[-\tfrac12,\tfrac12].
Para
k_{1} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}\approx1{,}366
temos 2k_{1}\approx2{,}732>\sqrt{2}, impossível.
Para
k_{2} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}366
temos 2k_{2}\approx-0{,}732\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}] e
k_{2}^{2}+k_{2} = k_{2}(k_{2}+1) \approx(-0{,}366)\cdot0{,}634 \approx-0{,}232 \in[-\tfrac12,\tfrac12],
logo existe \theta real.

Resposta

k = \frac{1-\sqrt{3}}{2}.

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