Calcule la distancia más corta desde el punto (0, 0, 0) al plano 3x + 2y + z - 1 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica! A questão pede para calcular a distância mais curta do ponto até o plano definido pela equação . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância ponto-plano, que nos ajuda a encontrar essa distância de maneira direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente projeta o vetor posição do ponto sobre a normal do plano, dando a distância mais curta.

Passo 3

No nosso caso, o ponto dado é , então , e .
O plano é , então os coeficientes são:
  • (note que a equação é , então o termo constante é )

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 5

Então, a distância fica:
Podemos racionalizar o denominador para deixar mais elegante, multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A distância mais curta do ponto ao plano é unidades.

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