Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, sendo f dada por:
f(x)=3 x^{2}-1

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • A função fornecida é f(x)=3x^{2}-1.
  • Não há outros dados ou condições; o limite é pedido em função de x.

Passo 2

Entender o que aparece no numerador: precisamos escrever f(x+h). Substitui x+h na expressão de f:
f(x+h)=3(x+h)^{2}-1.

Passo 3

Desenvolver o quadrado e distribuir para simplificar f(x+h). Lembrando que (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}:
f(x+h)=3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-1=3x^{2}+6xh+3h^{2}-1.

Passo 4

Montar o numerador f(x+h)-f(x). Como f(x)=3x^{2}-1, subtraímos:
f(x+h)-f(x)=\bigl(3x^{2}+6xh+3h^{2}-1\bigr)-\bigl(3x^{2}-1\bigr).
Agora simplifica os termos iguais 3x^{2} e -1:
f(x+h)-f(x)=6xh+3h^{2}.

Passo 5

Formar o quociente e simplificar por h (assumindo h\neq0 durante a simplificação):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{6xh+3h^{2}}{h}=\frac{h(6x+3h)}{h}=6x+3h.
Aqui usamos fatoração por h para cancelar o h do denominador — é uma técnica padrão para eliminar o problema do 0/0.

Passo 6

Calcular o limite quando h\to0. Agora que o quociente ficou 6x+3h, aplicamos a propriedade de limites que permite substituir o valor de h em expressões polinomiais (polinômios são contínuos):
\lim_{h\to0}\bigl(6x+3h\bigr)=6x+3\cdot 0=6x.
Explicação didática rápida: a parte 6x não depende de h, então permanece; a parte 3h tende a 0 porque \lim_{h\to0}h=0.

Passo 7

Interpretação e lembrete prático (para a prova). O limite que foi pedido é exatamente a definição clássica do coeficiente angular da reta tangente em x (a taxa de variação instantânea) para funções diferenciáveis. Neste tipo de exercício, o procedimento padrão é:
  • calcular f(x+h),
  • formar f(x+h)-f(x),
  • dividir por h e simplificar (frequentemente fatorando h),
  • então tomar o limite quando h\to0.
Exemplo extra curto para fixar: se g(x)=x^{2}, seguindo os mesmos passos obtém-se \lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=2x. Aqui, por ter um fator 3 em f(x), o resultado ficou 3 vezes maior: 3\cdot 2x=6x. Força aí — você já tem a técnica para qualquer polinômio simples!

Resposta

6x