Calcule
, sendo
dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
- Pede calcular o limite
. - A função fornecida é
. - Não há outros dados ou condições; o limite é pedido em função de
.
Passo 2
Entender o que aparece no numerador: precisamos escrever
. Substitui
na expressão de
:
Passo 3
Desenvolver o quadrado e distribuir para simplificar
. Lembrando que
:
Passo 4
Montar o numerador
. Como
, subtraímos:
Agora simplifica os termos iguais
e
:
Passo 5
Formar o quociente e simplificar por
(assumindo
durante a simplificação):
Aqui usamos fatoração por
para cancelar o
do denominador — é uma técnica padrão para eliminar o problema do
.
Passo 6
Calcular o limite quando
. Agora que o quociente ficou
, aplicamos a propriedade de limites que permite substituir o valor de
em expressões polinomiais (polinômios são contínuos):
Explicação didática rápida: a parte
não depende de
, então permanece; a parte
tende a
porque
.
Passo 7
Interpretação e lembrete prático (para a prova). O limite que foi pedido é exatamente a definição clássica do coeficiente angular da reta tangente em
(a taxa de variação instantânea) para funções diferenciáveis. Neste tipo de exercício, o procedimento padrão é:
- calcular
, - formar
, - dividir por
e simplificar (frequentemente fatorando ), - então tomar o limite quando
.
Exemplo extra curto para fixar: se
, seguindo os mesmos passos obtém-se
. Aqui, por ter um fator
em
, o resultado ficou
vezes maior:
. Força aí — você já tem a técnica para qualquer polinômio simples!