Calcule
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{Ln}(n i)}{n i}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\mathrm{Ln}(n\,i)}{n\,i}.
O conteúdo envolvido é o logaritmo complexo principal, que satisfaz
\mathrm{Ln}(z)=\ln|z|+i\,\Arg(z),
onde \Arg(z) é o argumento principal de z.

Passo 2

Vamos calcular \mathrm{Ln}(n\,i). Como |n\,i|=n e o argumento principal de n\,i (com n>0) é \pi/2, temos
\mathrm{Ln}(n\,i)=\ln|n\,i|+i\,\Arg(n\,i) =\ln n + i\,\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Agora dividimos por n\,i:
\frac{\mathrm{Ln}(n\,i)}{n\,i} =\frac{\ln n + i\,\frac{\pi}{2}}{n\,i} =\frac{\ln n}{n\,i}+\frac{i\,\frac{\pi}{2}}{n\,i}.
Note que \displaystyle \frac{\ln n}{n\,i}=-i\frac{\ln n}{n}
e \displaystyle \frac{i\,\frac{\pi}{2}}{n\,i}=\frac{\pi}{2n}.
Logo
\frac{\mathrm{Ln}(n\,i)}{n\,i} =-i\,\frac{\ln n}{n}+\frac{\pi}{2n}.

Passo 4

Para n\to\infty temos \ln n/n\to0 e \pi/(2n)\to0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\mathrm{Ln}(n\,i)}{n\,i}=0.

Resposta

0

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