Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3} 5^{\frac{1}{x+3}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 3} 5^{\frac{1}{x+3}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é x \mapsto 5^{\frac{1}{x+3}}.
  • A variável x aproxima-se de \,3.
  • Não há outras condições ou imagens.
O objetivo é obter o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro observe o expoente \dfrac{1}{x+3}. Vou calcular o limite desse expoente quando x \to 3.
A soma x+3 tende a
\lim_{x\to 3} (x+3) = 3+3 = 6,
pois a soma de limites (quando existem) é o limite da soma e a substituição direta funciona aqui.

Passo 3

Agora uso a função \varphi(t)=\dfrac{1}{t}. Essa função é contínua em todo t\neq 0. Como o valor limite obtido para x+3 é 6\neq 0, posso aplicar a continuidade de \varphi e escrever
\lim_{x\to 3} \frac{1}{x+3} = \frac{1}{\lim_{x\to 3} (x+3)} = \frac{1}{6}.
Explicando de forma simples: se uma sequência (ou x) faz x+3 tender a 6, então tomar recíproco dá 1/6, porque o recíproco é uma operação contínua longe de zero.

Passo 4

Considere agora a função f(t)=5^{t}. Para base 5>0 (e diferente de 1), a função exponencial t\mapsto 5^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Uma propriedade importante de limites e continuidade é:
se g(x)\to L quando x\to a e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\bigl(\lim_{x\to a} g(x)\bigr) = f(L).
Aqui podemos aplicar isso com g(x)=\dfrac{1}{x+3}, que vimos tender a 1/6, e f(t)=5^{t} contínua em t=1/6. Portanto
\lim_{x\to 3} 5^{\frac{1}{x+3}} = 5^{\lim_{x\to 3} \frac{1}{x+3}} = 5^{\frac{1}{6}}.

Passo 5

(Tip rápido/intuition boost) Uma forma alternativa é tomar logaritmo natural para explicar: se y(x)=5^{1/(x+3)} então \ln y(x) = \dfrac{1}{x+3}\ln 5. Como \dfrac{1}{x+3}\to \dfrac{1}{6}, tem-se \ln y(x)\to \dfrac{\ln 5}{6} e portanto y(x)\to e^{\ln 5/6}=5^{1/6}. É a mesma conclusão, só por outro caminho.

Resposta

5^{\tfrac{1}{6}}