Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - A variável
aproxima-se de . - Não há outras condições ou imagens.
O objetivo é obter o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro observe o expoente
. Vou calcular o limite desse expoente quando
.
A soma tende a
A soma
pois a soma de limites (quando existem) é o limite da soma e a substituição direta funciona aqui.
Passo 3
Agora uso a função
. Essa função é contínua em todo
. Como o valor limite obtido para
é
, posso aplicar a continuidade de
e escrever
Explicando de forma simples: se uma sequência (ou
) faz
tender a
, então tomar recíproco dá
, porque o recíproco é uma operação contínua longe de zero.
Passo 4
Considere agora a função
. Para base
(e diferente de
), a função exponencial
é contínua para todo
. Uma propriedade importante de limites e continuidade é:
se
quando
e
é contínua em
, então
Aqui podemos aplicar isso com
, que vimos tender a
, e
contínua em
. Portanto
Passo 5
(Tip rápido/intuition boost) Uma forma alternativa é tomar logaritmo natural para explicar: se
então
. Como
, tem-se
e portanto
. É a mesma conclusão, só por outro caminho.