Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é a função
. - O ponto onde estamos calculando o limite é
. - É importante observar o comportamento do expoente
quando se aproxima de .
Passo 2
Verificar domínio e se há problemas de divisão por zero no ponto de interesse.
- A função
tem problema (denominador zero) em . - Porém estamos aproximando
de , que é diferente de . Portanto não há problema de divisão por zero perto de e a expressão está bem definida numa vizinhança de .
Passo 3
Calcular o limite do expoente
quando
.
Uma maneira direta é substituir:
Uma maneira direta é substituir:
Outro modo (equivalente) é fazer a mudança de variável
. Quando
temos
e
Passo 4
Explicar por que podemos passar o limite para dentro da potência.
- A função
é contínua para todo (uma forma de ver isso é escrever , uma composição de funções contínuas). - Teorema da composição de limites (intuitivamente: se
e é contínua em , então ).
Aplicando isso come , como e é contínua em , segue que
Passo 5
Método alternativo (usando logaritmo) para reforçar a ideia:
- Considere
. Então . - Já calculamos
, logo
- Como a função exponencial é contínua, voltando temos
. Isso confirma o resultado obtido pelo método direto.
Resposta
5