Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2} 5^{\frac{1}{x+3}}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -2} 5^{\frac{1}{x+3}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é a função f(x)=5^{\frac{1}{x+3}}.
  • O ponto onde estamos calculando o limite é x\to -2.
  • É importante observar o comportamento do expoente \dfrac{1}{x+3} quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Verificar domínio e se há problemas de divisão por zero no ponto de interesse.
  • A função \dfrac{1}{x+3} tem problema (denominador zero) em x=-3.
  • Porém estamos aproximando x de -2, que é diferente de -3. Portanto não há problema de divisão por zero perto de -2 e a expressão está bem definida numa vizinhança de -2.

Passo 3

Calcular o limite do expoente \dfrac{1}{x+3} quando x\to -2.
Uma maneira direta é substituir:
\lim_{x\to -2}\frac{1}{x+3}=\frac{1}{-2+3}=\frac{1}{1}=1.
Outro modo (equivalente) é fazer a mudança de variável y=x+3. Quando x\to -2 temos y\to 1 e
\lim_{x\to -2}\frac{1}{x+3}=\lim_{y\to 1}\frac{1}{y}=\frac{1}{1}=1.

Passo 4

Explicar por que podemos passar o limite para dentro da potência.
  • A função t\mapsto 5^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R} (uma forma de ver isso é escrever 5^{t}=e^{t\ln 5}, uma composição de funções contínuas).
  • Teorema da composição de limites (intuitivamente: se g(x)\to L e f é contínua em L, então f(g(x))\to f(L)).
    Aplicando isso com g(x)=\dfrac{1}{x+3} e f(t)=5^{t}, como g(x)\to 1 e f é contínua em 1, segue que
\lim_{x\to -2}5^{\frac{1}{x+3}}=5^{\lim_{x\to -2}\frac{1}{x+3}}=5^{1}.

Passo 5

Método alternativo (usando logaritmo) para reforçar a ideia:
  • Considere y(x)=5^{\frac{1}{x+3}}. Então \ln y(x)=\dfrac{1}{x+3}\ln 5.
  • Já calculamos \lim_{x\to -2}\dfrac{1}{x+3}=1, logo
\lim_{x\to -2}\ln y(x)=1\cdot\ln 5=\ln 5.
  • Como a função exponencial é contínua, voltando temos \lim_{x\to -2}y(x)=e^{\ln 5}=5. Isso confirma o resultado obtido pelo método direto.

Resposta

5