Calcule \lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\cos (2 x)+\operatorname{sen} 3 x}{x}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\pi/2}\frac{\cos(2x)+\sin(3x)}{x}.
Isso é um problema de limite de quociente de funções contínuas. Como o denominador não se anula em x=\pi/2, podemos usar a propriedade de continuidade e fazer substituição direta.

Passo 2

Verificamos o valor do denominador em x=\pi/2:
x\bigl|_{x=\pi/2} = \frac{\pi}{2}\neq 0.
Logo não há forma indeterminada e podemos substituir x=\pi/2 diretamente na expressão.

Passo 3

Calculamos o numerador em x=\pi/2:
\cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\pi=-1,
\sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1,
então
\cos(2x)+\sin(3x)\bigl|_{x=\pi/2} = -1 + (-1) = -2.

Passo 4

Portanto, o limite vale
\frac{-2}{\pi/2} = -2 \cdot \frac{2}{\pi} = -\frac{4}{\pi}.

Resposta

-\frac{4}{\pi}

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