Calcule o limite, se existir, de: lim (x, y) (1,0) (x-1)^2 ln x(x-1)^2+y^2.

Passo 1

Vamos resolver o limite .
Este problema está relacionado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis, uma parte do estudo de Cálculo Multivariável. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo logaritmos e analisar o comportamento da função quando se aproxima de 1 e de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo lim (h, y) (0,0) h^2 ln (1 + h)h^2+y^2 por , onde é uma pequena variação em torno de 1. Assim, temos:
Isso facilita a análise, já que agora estamos olhando para o comportamento próximo a .

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de ln(1 + h) approx h , o logaritmo pode ser aproximado por:
lim (h, y) (0,0) h^2 cdot hh^2+y^2 = lim (h, y) (0,0) h^3h^2+y^2
Portanto, substituindo na expressão original:

Passo 4

Agora, para determinar o limite, devemos verificar se ele é o mesmo independente do caminho que lim h 0 h^3h^2 = lim h 0 h = 0 percorre para chegar a lim y 0 0y^2 = 0 . Vamos testar alguns caminhos:
  1. Caminho lim h 0 h^3h^2 + h^2 = lim h 0 h^32h^2 = lim h 0 h2 = 0 :
  1. Caminho :
  1. Caminho :

Passo 5

Observamos que, independente do caminho escolhido, o limite tende a zero. Além disso, não há indeterminações que sugiram a existência de diferentes limites dependendo da direção de aproximação.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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