Calcule o limite se existir.
\lim \frac{i^{2}-21-8}{1-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim \frac{i^{2}-21-8}{1-4}.
Informações dadas: a expressão dentro do limite é \frac{i^{2}-21-8}{1-4}. Não há indicação de qual variável tende a que valor; portanto trataremos a expressão como uma quantidade numérica fixa (ou seja, uma constante) — e a letra i será interpretada como a unidade imaginária, com a propriedade que vamos usar abaixo. O pedido é: determinar o valor do limite, se ele existir.

Passo 2

Vou lembrar e explicar uma coisa importante sobre i. Por definição, a unidade imaginária i satisfaz
i^{2}=-1.
Isto vem da definição de i como \sqrt{-1}. Sempre que aparecer i^{2} podemos substituir por -1. Isso é uma identidade simples e útil.

Passo 3

Avalio o numerador da fração usando i^{2}=-1. Substituindo:
i^{2}-21-8 = (-1)-21-8.
Agora faço a soma (subtrações) dos inteiros passo a passo:
(-1)-21 = -22,
-22-8 = -30.
Portanto o numerador vale -30.

Passo 4

Avalio o denominador da fração:
1-4 = -3.

Passo 5

A expressão completa dentro do limite torna-se a fração numérica
\frac{-30}{-3}.
Isto é uma fração constante (não depende de nenhuma variável). Vou agora lembrar um fato sobre limites de constantes.

Passo 6

Teorema (intuitivo e útil para prova): se c é uma constante real (ou complexa), então para qualquer variável x e qualquer ponto a,
\lim_{x\to a} c = c.
Em palavras: o limite de uma função constante é simplesmente o próprio valor constante, porque aproximar-se do ponto não muda o valor — sempre é c. No nosso caso, como a expressão dentro do limite é a constante \frac{-30}{-3}, o limite existe e é igual a essa constante.

Resposta

10