Calcule o limite se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão dentro do limite é
. Não há indicação de qual variável tende a que valor; portanto trataremos a expressão como uma quantidade numérica fixa (ou seja, uma constante) — e a letra
será interpretada como a unidade imaginária, com a propriedade que vamos usar abaixo. O pedido é: determinar o valor do limite, se ele existir.
Passo 2
Vou lembrar e explicar uma coisa importante sobre
. Por definição, a unidade imaginária
satisfaz
Isto vem da definição de
como
. Sempre que aparecer
podemos substituir por
. Isso é uma identidade simples e útil.
Passo 3
Avalio o numerador da fração usando
. Substituindo:
Agora faço a soma (subtrações) dos inteiros passo a passo:
Portanto o numerador vale
.
Passo 4
Avalio o denominador da fração:
Passo 5
A expressão completa dentro do limite torna-se a fração numérica
Isto é uma fração constante (não depende de nenhuma variável). Vou agora lembrar um fato sobre limites de constantes.
Passo 6
Teorema (intuitivo e útil para prova): se
é uma constante real (ou complexa), então para qualquer variável
e qualquer ponto
,
Em palavras: o limite de uma função constante é simplesmente o próprio valor constante, porque aproximar-se do ponto não muda o valor — sempre é
. No nosso caso, como a expressão dentro do limite é a constante
, o limite existe e é igual a essa constante.