Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e o que se busca:
- A variável que tende é
e a aproximação é . - A expressão envolve
e . - Quer-se determinar o valor do limite, se existir.
Passo 2
Teste rápido de substituição direta (para ver se dá um valor óbvio):
logo a expressão torna-se
que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo; precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma ideia prática quando aparece
é fazer a substituição
Assim
e, quando
, temos
. Substituindo na expressão do limite obtemos
Agora trabalhamos o limite em função de
:
Passo 4
Fatorando o numerador
passo a passo:
Usamos a identidade de diferença de cubos para
:
Portanto
Passo 5
Substituindo essa fatoração na fração e simplificando:
Para
podemos cancelar o fator
, obtendo a expressão simplificada
Essa simplificação é válida para o cálculo do limite porque estamos interessados em
aproximando-se de
, não exatamente em
; o cancelamento remove a indeterminação.
Passo 6
Agora que temos uma função contínua em
(após simplificação), avaliamos o limite substituindo
:
Portanto o limite original existe e vale
.