Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}.
Informações dadas e o que se busca:
  • A variável que tende é x e a aproximação é x\to1.
  • A expressão envolve \sqrt{x} e x^{2}.
  • Quer-se determinar o valor do limite, se existir.

Passo 2

Teste rápido de substituição direta (para ver se dá um valor óbvio):
\text{se }x=1\text{ então }\sqrt{x}=1\text{ e }x^{2}=1,ã
logo a expressão torna-se
\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo; precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma ideia prática quando aparece \sqrt{x} é fazer a substituição
t=\sqrt{x}.
Assim x=t^{2} e, quando x\to1, temos t\to1. Substituindo na expressão do limite obtemos
\frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}=\frac{t-t^{4}}{1-t}.
Agora trabalhamos o limite em função de t:
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-x^{2}}{1-\sqrt{x}}=\lim_{t\to1}\frac{t-t^{4}}{1-t}.

Passo 4

Fatorando o numerador (t-t^{4}) passo a passo:
t-t^{4}=t(1-t^{3}).
Usamos a identidade de diferença de cubos para 1-t^{3}:
1-t^{3}=(1-t)(1+t+t^{2}).
Portanto
t-t^{4}=t(1-t)(1+t+t^{2}).

Passo 5

Substituindo essa fatoração na fração e simplificando:
\frac{t-t^{4}}{1-t}=\frac{t(1-t)(1+t+t^{2})}{1-t}.
Para t\neq1 podemos cancelar o fator (1-t), obtendo a expressão simplificada
t(1+t+t^{2}).
Essa simplificação é válida para o cálculo do limite porque estamos interessados em t aproximando-se de 1, não exatamente em t=1; o cancelamento remove a indeterminação.

Passo 6

Agora que temos uma função contínua em t (após simplificação), avaliamos o limite substituindo t=1:
\lim_{t\to1} t(1+t+t^{2}) = 1\cdot(1+1+1)=3.
Portanto o limite original existe e vale 3.

Resposta

3