Calcule o limite lim t 1 r(t) onde r(t)=(t^3-1,2 t+3, cos (t)).

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular o limite de uma função vetorial quando r(t) = (t^3 - 1,, 2t + 3,, cos(t)) se aproxima de 1. A função vetorial é dada por:
Vamos usar conceitos de limites de funções componentizadas. Isso significa que vamos calcular o limite de cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente limt to 1 (t^3 - 1) = (1)^3 - 1 = 1 - 1 = 0 quando se aproxima de 1.
Sabemos que para funções polinomiais, o limite é simplesmente o valor da função no ponto:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente limt to 1 (2t + 3) = 2 times 1 + 3 = 2 + 3 = 5 .
Também é uma função polinomial, então aplicamos o mesmo princípio:

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da terceira componente limt to 1 cos(t) = cos(1) .
A função cosseno é contínua, o que significa que o limite da função no ponto é igual ao valor da função nesse ponto:
Como não é um número exato simples, geralmente é deixado assim ou aproximado com uma calculadora.

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial quando limt to 1 r(t) = (0,, 5,, cos(1)) se aproxima de 1 é:

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