Calcule o limite ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}
ou mostrar que esse limite não existe. Informações dadas que vamos usar:
  • A função considerada é \displaystyle (x,y)\mapsto \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto onde o par ordenado se aproxima é (0,0).
  • Precisamos concluir se existe um único valor limite quando (x,y) aproxima-se de (0,0) por qualquer caminho, ou se há caminhos que dão valores diferentes (o que implica que o limite não existe).

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): para limites de funções de duas variáveis, uma forma prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos de aproximação a (0,0) que produzam limites diferentes. Isso vale porque, se o limite \displaystyle L existisse, qualquer aproximação ao ponto (por qualquer caminho) teria que dar o mesmo valor L. Então basta achar dois caminhos com limites distintos para concluir que o limite da função não existe.

Passo 3

Vamos calcular o limite quando nos aproximamos de (0,0) pelo eixo x, ou seja pelo caminho (x,0) com x\to0. Substituindo y=0 obtemos a função de uma variável
\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}+0}=\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}}.
Use aqui o limite conhecido da análise básica: \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1. Fazendo a substituição t=x^{2} (quando x\to0 temos t\to0), obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}}=1.
Portanto, ao longo do caminho (x,0) o valor do limite é \,1.

Passo 4

Agora aproximamos (0,0) pelo eixo y, isto é pelo caminho (0,y) com y\to0. Substituindo x=0 na expressão original obtemos
\frac{\operatorname{sen}\left(0^{2}\right)}{0^{2}+y^{2}}=\frac{\operatorname{sen} 0}{y^{2}}=\frac{0}{y^{2}}=0
para todo y\neq0. Logo
\lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen}\left(0^{2}\right)}{0^{2}+y^{2}}=0.
Portanto, ao longo do caminho (0,y) o limite é \,0.

Passo 5

Comparando os resultados dos Passos 3 e 4: pelo caminho (x,0) o limite é \,1 e pelo caminho (0,y) o limite é \,0. Como esses dois valores são diferentes, não pode haver um único limite quando (x,y)\to(0,0). Conclusão: o limite não existe.

Passo 6

(Apenas para reforçar a intuição) Se quisermos ver uma família de resultados diferentes, aproximando por retas y=mx com m fixo, temos
\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}(1+m^{2})}=\frac{1}{1+m^{2}}\cdot\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}}
e portanto, passando ao limite x\to0,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\frac{1}{1+m^{2}}.
Isso mostra que diferentes valores de m dão diferentes limites (por exemplo m=0 1, m=1 1/2, e assim por diante), reforçando que não existe um limite único.

Resposta

Não existe.