Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
O enunciado pede para calcular
ou mostrar que esse limite não existe. Informações dadas que vamos usar:
- A função considerada é
, definida para . - O ponto onde o par ordenado se aproxima é
. - Precisamos concluir se existe um único valor limite quando
aproxima-se de por qualquer caminho, ou se há caminhos que dão valores diferentes (o que implica que o limite não existe).
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): para limites de funções de duas variáveis, uma forma prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos de aproximação a
que produzam limites diferentes. Isso vale porque, se o limite
existisse, qualquer aproximação ao ponto (por qualquer caminho) teria que dar o mesmo valor
. Então basta achar dois caminhos com limites distintos para concluir que o limite da função não existe.
Passo 3
Vamos calcular o limite quando nos aproximamos de
pelo eixo
, ou seja pelo caminho
com
. Substituindo
obtemos a função de uma variável
Use aqui o limite conhecido da análise básica:
. Fazendo a substituição
(quando
temos
), obtemos
Portanto, ao longo do caminho
o valor do limite é
.
Passo 4
Agora aproximamos
pelo eixo
, isto é pelo caminho
com
. Substituindo
na expressão original obtemos
para todo
. Logo
Portanto, ao longo do caminho
o limite é
.
Passo 5
Comparando os resultados dos Passos 3 e 4: pelo caminho
o limite é
e pelo caminho
o limite é
. Como esses dois valores são diferentes, não pode haver um único limite quando
. Conclusão: o limite não existe.
Passo 6
(Apenas para reforçar a intuição) Se quisermos ver uma família de resultados diferentes, aproximando por retas
com
fixo, temos
e portanto, passando ao limite
,
Isso mostra que diferentes valores de
dão diferentes limites (por exemplo
dá
,
dá
, e assim por diante), reforçando que não existe um limite único.
Resposta
Não existe.