Calcule os limites abaixo :
\left(1,0\right. ponto) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{4}-9 x^{2}}{-2 x+7}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^{4}-9x^{2}}{-2x+7}.
Informações importantes dadas:
  • Numerador: x^{4}-9x^{2}.
  • Denominador: -2x+7.
  • A variável x tende a -\infty (isto é, vai para valores muito negativos).

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): quando x tende a \pm\infty em uma razão de polinômios, o comportamento dominante vem dos termos de maior grau em numerador e denominador. Uma maneira precisa de usar isso é fatorar a maior potência de x possível, simplificar e analisar os fatores que permanecem. Vou fazer isso passo a passo para não pular nada.

Passo 3

Factorizar a maior potência de x possível no numerador e também em um fator do denominador. O maior expoente no numerador é 4. No denominador o maior expoente é 1. Faço:
x^{4}-9x^{2}=x^{4}\left(1-\frac{9}{x^{2}}\right)
-2x+7 = x\left(-2+\frac{7}{x}\right).

Passo 4

Substituo essas fatorações na razão e simplifico o fator comum x:
\frac{x^{4}-9x^{2}}{-2x+7}=\frac{x^{4}\left(1-\dfrac{9}{x^{2}}\right)}{x\left(-2+\dfrac{7}{x}\right)}.
Simplificando x^{4}/x=x^{3} obtenho
\frac{x^{4}-9x^{2}}{-2x+7}=x^{3}\cdot\frac{1-\dfrac{9}{x^{2}}}{-2+\dfrac{7}{x}}.

Passo 5

Agora analiso os limites das duas partes quando x\to -\infty.
Primeiro, os termos dentro do quociente tendem a constantes porque as frações com x no denominador vão a zero:
\lim_{x\to -\infty}\left(1-\frac{9}{x^{2}}\right)=1
\lim_{x\to -\infty}\left(-2+\frac{7}{x}\right)=-2.
Portanto
\lim_{x\to -\infty}\frac{1-\dfrac{9}{x^{2}}}{-2+\dfrac{7}{x}}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Com isso o comportamento do quociente original é equivalente ao de x^{3} multiplicado por -\tfrac{1}{2}, ou seja é assintoticamente -\tfrac{1}{2}x^{3}. Logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{4}-9x^{2}}{-2x+7}=\lim_{x\to -\infty}\left(-\tfrac{1}{2}x^{3}\right).
Agora lembro uma propriedade simples de potências: quando x\to -\infty,
  • se a potência é par, x^{\text{par}}\to +\infty;
  • se a potência é ímpar, x^{\text{ímpar}}\to -\inftyí (porque o sinal negativo se preserva).
Aqui o expoente é 3 (ímpar), então x^{3}\to -\infty. Multiplicando por -\tfrac{1}{2} (um número negativo) temos um produto de dois negativos que tende a +\infty. Portanto
\lim_{x\to -\infty}\left(-\tfrac{1}{2}x^{3}\right)=+\infty.

Passo 7

Resumo intuitivo e verificação rápida: olhando apenas aos termos de maior grau, a razão se comporta como
\frac{x^{4}}{-2x}=-\tfrac{1}{2}x^{3},
e para x\to -\infty isso vai para +\infty. Isso confirma o resultado obtido com o procedimento rigoroso acima.

Resposta

+\infty