Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}-10 x^{2}+25 x}{2 x-10}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}-10x^{2}+25x}{2x-10}.
Informações relevantes que o problema dá:
  • O numerador é o polinômio \,x^{3}-10x^{2}+25x.
  • O denominador é a função linear \,2x-10.
  • A aproximação é em x\to 0.
    O que se quer: o valor do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Avaliar o numerador e o denominador no ponto x=0 (teste de substituição direta):
\text{numerador}(0)=0^{3}-10\cdot0^{2}+25\cdot0=0,
\text{denominador}(0)=2\cdot0-10=-10.

Passo 3

Regra usada (explicação didática): polinômios são funções contínuas em todo ponto; funções racionais (quociente de polinômios) são contínuas em pontos onde o denominador não é zero. O que significa contínuo de forma intuitiva: aproximar x de a faz a função se aproximar do valor da função em a. Portanto, se f e g são contínuas em a e g(a)\neq 0, vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
Aqui o numerador é polinômio (contínuo) e o denominador é linear (contínuo) e tem valor -10\neq 0 em x=0. Logo podemos aplicar essa regra e substituir x=0.

Passo 4

Aplicando a substituição direta:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{3}-10x^{2}+25x}{2x-10}=\frac{0}{-10}=0.

Resposta

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