Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma função de
com numerador e denominador . - O limite é quando
se aproxima de pela direita, ou seja, e .
Passo 2
Simplificar a expressão algébrica que aparece no numerador. Note que
Então o numerador é a raiz quadrada de um quadrado:
Aqui é importante lembrar uma propriedade básica da raiz quadrada: para todo número real
,
ou seja, a raiz quadrada do quadrado de
é o valor absoluto de
. Aplicando isso ao caso temos
Passo 3
Interpretação do módulo considerando a aproximação pela direita. Como o limite é
, estamos considerando valores
próximos de
. Para
vale
, logo
Portanto, para os
que interessam ao limite, o numerador simplifica para
.
Passo 4
Fatorar e simplificar a expressão inteira. O denominador pode ser fatorado:
Substituindo o numerador simplificado (para
) obtemos, para
,
Como
(estamos apenas nos aproximando de
, não avaliando exatamente em
), podemos cancelar o fator
, ficando
É válido cancelar porque para o cálculo do limite consideramos
arbitrariamente próximo de
porém distinto de
.
Passo 5
Calcular o limite da função simplificada. A função
é contínua em torno de
(o denominador não zera), portanto podemos simplesmente substituir
na expressão simplificada: