Calcule os limites abaixo.
\lim _{t \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{t^{2}-2 t+1}}{t^{2}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{t\to 1^{+}} \frac{\sqrt{t^{2}-2t+1}}{t^{2}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função de t com numerador \sqrt{t^{2}-2t+1} e denominador t^{2}-1.
  • O limite é quando t se aproxima de 1 pela direita, ou seja, t>1 e t\to1.

Passo 2

Simplificar a expressão algébrica que aparece no numerador. Note que
t^{2}-2t+1=(t-1)^{2}.
Então o numerador é a raiz quadrada de um quadrado:
\sqrt{t^{2}-2t+1}=\sqrt{(t-1)^{2}}.
Aqui é importante lembrar uma propriedade básica da raiz quadrada: para todo número real x,
\sqrt{x^{2}}=|x|,
ou seja, a raiz quadrada do quadrado de x é o valor absoluto de x. Aplicando isso ao caso temos
\sqrt{(t-1)^{2}}=|t-1|.

Passo 3

Interpretação do módulo considerando a aproximação pela direita. Como o limite é \,t\to1^{+}\,, estamos considerando valores t>1 próximos de 1. Para t>1 vale t-1>0, logo
|t-1|=t-1\quad\text{quando }t>1.
Portanto, para os t que interessam ao limite, o numerador simplifica para t-1.

Passo 4

Fatorar e simplificar a expressão inteira. O denominador pode ser fatorado:
t^{2}-1=(t-1)(t+1).
Substituindo o numerador simplificado (para t>1) obtemos, para t\neq1,
\frac{\sqrt{t^{2}-2t+1}}{t^{2}-1}=\frac{t-1}{(t-1)(t+1)}.
Como t\neq1 (estamos apenas nos aproximando de 1, não avaliando exatamente em 1), podemos cancelar o fator t-1, ficando
\frac{t-1}{(t-1)(t+1)}=\frac{1}{t+1}\qquad\text{(para }t>1\text{)}.
É válido cancelar porque para o cálculo do limite consideramos t arbitrariamente próximo de 1 porém distinto de 1.

Passo 5

Calcular o limite da função simplificada. A função t\mapsto \dfrac{1}{t+1} é contínua em torno de t=1 (o denominador não zera), portanto podemos simplesmente substituir t=1 na expressão simplificada:
\lim_{t\to1^{+}}\frac{1}{t+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}