Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas: a expressão é a razão entre o logaritmo natural do quadrado de
e
. Não há outras condições explícitas; trabalhar em torno de
é legítimo porque
para
próximo de
.
Passo 2
Aplicar a propriedade básica dos logaritmos:
. Usando isso aqui:
Essa propriedade vale para qualquer
e qualquer expoente
; aqui
e
.
Passo 3
Substituindo na expressão do limite obtemos
Como a constante
pode ser fatorada para fora do limite:
Passo 4
Agora precisamos avaliar
. Vou mostrar três formas simples de ver que esse limite vale
; escolha a que preferir para a prova.
Método A — l’Hôpital (menos cálculo prévio):
- Para
o numerador e o denominador , temos indeterminação . - Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a
: - Então o limite passa a ser
Método B — definição de derivada (interpretação):
- Faça a substituição
. Quando , . Então - Isso é exatamente a definição do derivada de
em :
Método C — série de Taylor (intuição com aproximação):
- Para
pequeno, . Dividindo por : que tende para quando .
Em qualquer um dos métodos encontramos
Passo 5
Voltando ao passo anterior, temos
Resposta
2