Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)^{2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln\!\big((1+x)^{2}\big)}{x}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre o logaritmo natural do quadrado de 1+x e x. Não há outras condições explícitas; trabalhar em torno de x=0 é legítimo porque 1+x>0 para x próximo de 0.

Passo 2

Aplicar a propriedade básica dos logaritmos: \ln(a^{b})=b\ln(a). Usando isso aqui:
\ln\!\big((1+x)^{2}\big)=2\ln(1+x).
Essa propriedade vale para qualquer a>0 e qualquer expoente b; aqui a=1+x e b=2.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite obtemos
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln\!\big((1+x)^{2}\big)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\ln(1+x)}{x}.
Como a constante 2 pode ser fatorada para fora do limite:
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\ln(1+x)}{x} = 2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 4

Agora precisamos avaliar \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}. Vou mostrar três formas simples de ver que esse limite vale 1; escolha a que preferir para a prova.
Método A — l’Hôpital (menos cálculo prévio):
  • Para x\to0 o numerador \ln(1+x)\to0 e o denominador x\to0, temos indeterminação 0/0.
  • Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x: \frac{d}{dx}\big(\ln(1+x)\big)=\frac{1}{1+x},\qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
  • Então o limite passa a ser \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=\frac{1}{1+0}=1.
Método B — definição de derivada (interpretação):
  • Faça a substituição u=1+x. Quando x\to0, u\to1. Então \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{u\to1}\frac{\ln(u)-\ln(1)}{u-1}.
  • Isso é exatamente a definição do derivada de \ln(u) em u=1: \left.\frac{d}{du}\ln(u)\right|_{u=1}=\frac{1}{1}=1.
Método C — série de Taylor (intuição com aproximação):
  • Para x pequeno, \ln(1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}). Dividindo por x: \frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2}+o(x),que tende para 1 quando x\to0.
Em qualquer um dos métodos encontramos
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 5

Voltando ao passo anterior, temos
2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=2\cdot 1=2.

Resposta

2