Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas: a função considerada é
; o ponto onde aproximamos é
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
O que significa calcular
? Significa descobrir qual valor os números
se aproximam quando
se aproxima de
. Se a função
for contínua em
, então o limite quando
é simplesmente o valor da função em
, isto é,
. Vou explicar por que podemos usar isso.
Breve explicação sobre continuidade (em linguagem simples): uma função é contínua num ponto quando valores de entrada muito próximos ao ponto dão valores de saída muito próximos ao valor da função naquele ponto. Funções exponenciais de base positiva são contínuas em todo número real. Uma forma prática de ver isso é lembrar que (onde
é só um número). A função
é linear (logo contínua) e
é contínua; a composição de funções contínuas é contínua. Portanto
é contínua em todo ponto, inclusive em
. Assim podemos substituir diretamente:
Breve explicação sobre continuidade (em linguagem simples): uma função é contínua num ponto quando valores de entrada muito próximos ao ponto dão valores de saída muito próximos ao valor da função naquele ponto. Funções exponenciais de base positiva são contínuas em todo número real. Uma forma prática de ver isso é lembrar que
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Vou relembrar a regra de potências que usamos aqui: para qualquer base
e expoente inteiro negativo
vale
Essa é uma regra básica de potências: expoente negativo inverte a base. Exemplos rápidos:
,
.
Aplicando a regra ao nosso caso com , obtemos
Aplicando a regra ao nosso caso com
Passo 4
Portanto, juntando a continuidade (que permite substituir
por
no limite) e a regra de expoentes, concluímos que o limite pedido é
.