Calcule os limites abaixo usando as propriedades dos limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}
Isso é um problema de limite com indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização, que consiste em multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma do limite quando x\to -1:
- No numerador, \sqrt{(-1)+2}-1=\sqrt{1}-1=0.
- No denominador, (-1)+1=0.
Portanto temos \tfrac{0}{0}, e podemos racionalizar.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+2}+1:
\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}\;\cdot\;\frac{\sqrt{x+2}+1}{\sqrt{x+2}+1} =\frac{(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}+1)}{(x+1)\,(\sqrt{x+2}+1)}.
No numerador aparece um produto notável:
(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}+1)=x+2-1=x+1.
Logo a expressão simplifica para
\frac{x+1}{(x+1)\,(\sqrt{x+2}+1)} =\frac{1}{\sqrt{x+2}+1}.

Passo 4

Agora que o fator x+1 foi cancelado, podemos substituir x=-1 sem indeterminação:
\lim_{x\to -1}\frac{1}{\sqrt{x+2}+1} =\frac{1}{\sqrt{1}+1} =\frac{1}{1+1} =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12