Calcule os limites abaixo usando as propriedades dos limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: calcular
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é a função x^{2}.
  • O denominador é a função \operatorname{sen}(x).
  • Pede-se o limite quando x tende a 1.

Passo 2

Estratégia e regra de limite que vamos usar: existe uma propriedade básica de limites que diz o seguinte. Se
\lim_{x\to a} f(x)=L,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=M,
e M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Portanto, para aplicar essa regra precisamos:
  1. calcular \lim_{x\to1} x^{2};
  2. calcular \lim_{x\to1}\operatorname{sen}(x);
  3. verificar que o limite do denominador não é zero.

Passo 3

Cálculo do limite do numerador \lim_{x\to1} x^{2}.
Explicação didática: a função x\mapsto x tem limite 1 quando x\to1. A função quadrado é contínua, e uma propriedade de limites diz que se \lim_{x\to a} h(x)=A então \lim_{x\to a} [h(x)]^{2}=A^{2}. Aplicando isso com h(x)=x e a=1 obtemos
\lim_{x\to1} x^{2} = (\lim_{x\to1} x)^{2} = 1^{2} = 1.

Passo 4

Cálculo do limite do denominador \lim_{x\to1}\operatorname{sen}(x).
Explicação didática: a função \operatorname{sen}(x) é contínua em todo ponto real, logo o limite ao se aproximar de 1 é simplesmente o valor da função em 1. Assim
\lim_{x\to1}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(1).
Além disso, é importante verificar que \operatorname{sen}(1)\neq 0. As raízes da função seno são os múltiplos de \pi (ou seja, pontos k\pi com k\in\mathbb{Z}). Como 1 não é múltiplo de \pi, segue que \operatorname{sen}(1)\neq 0. Para referência numérica,
\operatorname{sen}(1)\approx 0,84147,
logo definitivamente não é zero.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente (segunda a estratégia do Passo 2): como já temos
\lim_{x\to1} x^{2} = 1\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to1}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(1)\neq 0,
podemos concluir
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}=\frac{1}{\operatorname{sen}(1)}.
Dica para a prova: sempre, antes de substituir diretamente, verifique que o denominador no ponto não é zero; se for zero, aí entra outros métodos (fatoração, regra de l’Hôpital, desenvolvimento em série, etc.).

Resposta

\frac{1}{\operatorname{sen}(1)}