Calcule os limites abaixo usando as propriedades dos limites:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é a função
. - O denominador é a função
. - Pede-se o limite quando
tende a .
Passo 2
Estratégia e regra de limite que vamos usar: existe uma propriedade básica de limites que diz o seguinte. Se
e
, então
Portanto, para aplicar essa regra precisamos:
- calcular
; - calcular
; - verificar que o limite do denominador não é zero.
Passo 3
Cálculo do limite do numerador
.
Explicação didática: a função tem limite
quando
. A função quadrado é contínua, e uma propriedade de limites diz que se
então
. Aplicando isso com
e
obtemos
Explicação didática: a função
Passo 4
Cálculo do limite do denominador
.
Explicação didática: a função é contínua em todo ponto real, logo o limite ao se aproximar de
é simplesmente o valor da função em
. Assim
Explicação didática: a função
Além disso, é importante verificar que
. As raízes da função seno são os múltiplos de
(ou seja, pontos
com
). Como
não é múltiplo de
, segue que
. Para referência numérica,
logo definitivamente não é zero.
Passo 5
Aplicar a regra do quociente (segunda a estratégia do Passo 2): como já temos
podemos concluir
Dica para a prova: sempre, antes de substituir diretamente, verifique que o denominador no ponto não é zero; se for zero, aí entra outros métodos (fatoração, regra de l’Hôpital, desenvolvimento em série, etc.).