Calcule os limites, de acordo com o Teorema do Confronto:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto onde se toma o limite é
. - Não há mais dados; em especial a função
é a seno clássico, que sabemos ser limitada entre e .
Passo 2
Apresentar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) de forma clara e útil:
Se existirem funções
,
e
tais que, para
em torno de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto),
e se
então
Aqui
e
“confinam”
; se ambos tendem ao mesmo
,
também tende a
.
Passo 3
Usar a propriedade de
: para qualquer número real
vale
Substituindo
(isso é válido para todos
), obtemos
Passo 4
Multiplicar a desigualdade do Passo 3 por
. Observação importante: para todo
temos
, portanto a direção das desigualdades se mantém. Multiplicando termo a termo:
Assim encontramos duas funções que “confinam”
, exatamente a situação para aplicar o Teorema do Confronto.
Passo 5
Calcular os limites das funções que confinam:
Explicação:
é uma função contínua e tende a
quando
; o sinal negativo apenas muda o sinal, então
também.
Passo 6
Aplicar o Teorema do Confronto: como para
próximo de
e ambos os limites das funções-limite são
, conclui-se que
Intuição final (para aliviar a cabeça): a parte
pode oscilar muito quando
, mas está sempre entre
e
; multiplicando por
— que vira algo muito pequeno perto de zero — essa oscilação fica “apertada” em torno de zero, e o produto tende a zero.