Calcule os limites, de acordo com o Teorema do Confronto:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{1 / 3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x \rightarrow 0} x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{1/3}}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^{1/3}}\right).
  • O ponto onde se toma o limite é x\to 0.
  • Não há mais dados; em especial a função \operatorname{sen} é a seno clássico, que sabemos ser limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Apresentar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) de forma clara e útil:
Se existirem funções g(x), f(x) e h(x) tais que, para x em torno de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto),
g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Aqui g(x) e h(x) “confinam” f(x); se ambos tendem ao mesmo L, f também tende a L.

Passo 3

Usar a propriedade de \operatorname{sen}: para qualquer número real t vale
-1\le \operatorname{sen}(t)\le 1.
Substituindo t=\dfrac{1}{x^{1/3}} (isso é válido para todos x\neq 0), obtemos
-1\le \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{1/3}}\right)\le 1.

Passo 4

Multiplicar a desigualdade do Passo 3 por x^{2}. Observação importante: para todo x temos x^{2}\ge 0, portanto a direção das desigualdades se mantém. Multiplicando termo a termo:
-x^{2}\le x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{1/3}}\right)\le x^{2}.
Assim encontramos duas funções que “confinam” f(x)=x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^{1/3}}\right), exatamente a situação para aplicar o Teorema do Confronto.

Passo 5

Calcular os limites das funções que confinam:
\lim_{x\to 0} (-x^{2})=0, \qquad \lim_{x\to 0} x^{2}=0.
Explicação: x^{2} é uma função contínua e tende a 0 quando x\to 0; o sinal negativo apenas muda o sinal, então -x^{2}\to 0 também.

Passo 6

Aplicar o Teorema do Confronto: como para x próximo de 0
-x^{2}\le x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{1/3}}\right)\le x^{2},
e ambos os limites das funções-limite são 0, conclui-se que
\lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{1/3}}\right)=0.
Intuição final (para aliviar a cabeça): a parte \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x^{1/3}}\right) pode oscilar muito quando x\to 0, mas está sempre entre -1 e 1; multiplicando por x^{2} — que vira algo muito pequeno perto de zero — essa oscilação fica “apertada” em torno de zero, e o produto tende a zero.

Resposta

0