Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e o que se pede:
- A expressão dentro do limite é
. - O ponto de aproximação é
. - Queremos encontrar o valor numérico desse limite (se existir).
Passo 2
Estratégia inicial (transformação padrão para potências): quando temos um limite do tipo
e a base
é positiva perto de
, é habitual tomar logaritmo natural para passar a potência para o expoente. Defino
Se o limite
existir e for finito, então podemos usar a continuidade da exponencial para obter
Explico rapidamente por que isso vale: para
temos
, e como
é contínua, o limite da exponencial é a exponencial do limite do expoente (quando esse limite existe).
Passo 3
Verifico a forma indeterminada do quociente dentro do expoente:
- Quando
, , então . - Logo
. - O denominador
.
Portanto o quociente
tem forma indeterminada
, situação em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam em um intervalo ao redor de
, exceto possivelmente em
).
Passo 4
Enunciado e condição da Regra de L’Hôpital (breve revisão): se duas funções
e
satisfazem
e
quando
(ou ambas tendem a
) e
e
são diferenciáveis em uma vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então, se o limite
existe (é finito ou
), vale
Aqui aplico a regra com
e
.
Passo 5
Calculo as derivadas necessárias:
- Para
uso a regra da cadeia: se então . Aqui . - Calculo
.
Portanto
A derivada de
é
.
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 6
Avalio o limite do quociente das derivadas substituindo
:
-
, então . -
.
Logo
Portanto o limite do expoente é
.
Passo 7
Volto para a expressão original usando a relação do Passo 2:
Ou seja, o limite pedido é
.
Passo 8
Pequena verificação por séries (intuição extra, opcional): expandindo
em série de Taylor para verificar a consistência,
então
Logo
, consistente com o resultado anterior.