Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A expressão dentro do limite é \left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}.
  • O ponto de aproximação é x\to 0.
  • Queremos encontrar o valor numérico desse limite (se existir).

Passo 2

Estratégia inicial (transformação padrão para potências): quando temos um limite do tipo \lim_{x\to a} A(x)^{B(x)} e a base A(x) é positiva perto de a, é habitual tomar logaritmo natural para passar a potência para o expoente. Defino
L=\lim_{x\to 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}.
Se o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x}
existir e for finito, então podemos usar a continuidade da exponencial para obter
L=\exp\!\left(\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x}\right).
Explico rapidamente por que isso vale: para A(x)>0 temos A(x)^{B(x)}=\exp\big(B(x)\ln A(x)\big), e como \exp é contínua, o limite da exponencial é a exponencial do limite do expoente (quando esse limite existe).

Passo 3

Verifico a forma indeterminada do quociente dentro do expoente:
  • Quando x\to 0, e^{x}\to 1, então e^{x}+x\to 1+0=1.
  • Logo \ln\!\big(e^{x}+x\big)\to \ln(1)=0.
  • O denominador x\to 0.
Portanto o quociente \dfrac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x} tem forma indeterminada \dfrac{0}{0}, situação em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam em um intervalo ao redor de 0, exceto possivelmente em 0).

Passo 4

Enunciado e condição da Regra de L’Hôpital (breve revisão): se duas funções f(x) e g(x) satisfazem f(x)\to 0 e g(x)\to 0 quando x\to a (ou ambas tendem a \pm\infty) e f e g são diferenciáveis em uma vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então, se o limite \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (é finito ou \pm\infty), vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui aplico a regra com f(x)=\ln\!\big(e^{x}+x\big) e g(x)=x.

Passo 5

Calculo as derivadas necessárias:
  • Para f(x)=\ln\!\big(e^{x}+x\big) uso a regra da cadeia: se f(x)=\ln(u(x)) então f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u(x)=e^{x}+x.
  • Calculo u'(x)=e^{x}+1.
Portanto
f'(x)=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.
A derivada de g(x)=x é g'(x)=1.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.

Passo 6

Avalio o limite do quociente das derivadas substituindo x\to 0:
  • e^{x}\to 1, então e^{x}+1\to 1+1=2.
  • e^{x}+x\to 1+0=1.
Logo
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}=\frac{2}{1}=2.
Portanto o limite do expoente é 2.

Passo 7

Volto para a expressão original usando a relação do Passo 2:
L=\exp\!\left(\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x}\right)=\exp(2).
Ou seja, o limite pedido é \exp(2)=e^{2}.

Passo 8

Pequena verificação por séries (intuição extra, opcional): expandindo e^{x} em série de Taylor para verificar a consistência,
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots,
então
e^{x}+x=1+2x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots=1+2x+o(x).
Logo \big(e^{x}+x\big)^{1/x}\approx(1+2x)^{1/x}\to e^{2}, consistente com o resultado anterior.

Resposta

e^{2}