Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • a é uma constante (não depende de h).
  • Se substituirmos h=0 obtemos numerador \sin(a)-\sin(a)=0 e denominador 0. Portanto a forma do quociente é 0/0, que é uma indeterminação.

Passo 2

Vamos usar a regra de L’Hôspital (o enunciado pede isso). Vou primeiro explicar a regra de L’Hôspital de forma simples e clara:
  • Situação: queremos \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)}{g(h)}.
  • Se ao avaliar os limites temos a forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), então, quando existir,
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{g(h)} = \lim_{h\to 0}\frac{f'(h)}{g'(h)},
ou seja, podemos substituir o quociente pelas derivadas do numerador e do denominador e tomar o limite dessas derivadas.
  • Aplicando isso ao nosso caso: aqui f(h)=\sin(a+h)-\sin(a) e g(h)=h. Vimos que a forma é 0/0. Precisamos então calcular f'(h) e g'(h).

Passo 3

Calcular as derivadas f'(h) e g'(h), explicando cuidadosamente cada passo.
  • Derivada de g(h)=h é direta: g'(h)=1.
  • Para f(h)=\sin(a+h)-\sin(a): note que \sin(a) é uma constante em relação a h, então sua derivada é 0. Sobra a derivada de \sin(a+h) em relação a h. Usamos a regra da cadeia: a derivada de \sin(u) em relação a u é \cos(u), e u=a+h tem derivada 1. Logo
f'(h)=\frac{d}{dh}\sin(a+h)=\cos(a+h)\cdot 1=\cos(a+h).
  • (Mini-aula rápida sobre por que \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x: pela definição de derivada,
\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{t\to 0}\frac{\sin(x+t)-\sin x}{t}.
Usando a identidade trigonométrica \sin(x+t)-\sin x=2\cos\bigl(x+\tfrac{t}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) e escrevendo \dfrac{\sin(\tfrac{t}{2})}{t/2}, ao tomar t\to 0 obtemos \cos x porque \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 e \cos\bigl(x+\tfrac{t}{2}\bigr)\to\cos x. Assim a derivada é \cos x.)

Passo 4

Aplicar a regra de L’Hôspital com as derivadas encontradas:
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f'(h)}{g'(h)} = \lim_{h\to 0}\frac{\cos(a+h)}{1} = \lim_{h\to 0}\cos(a+h).
Agora usamos a continuidade da função cosseno: \cos é contínua, então \lim_{h\to 0}\cos(a+h)=\cos(a).

Passo 5

Conclusão: o limite existe e vale \cos(a). (Interpretando geometricamente, esse limite é exatamente a derivada de \sin x avaliada em x=a.)

Resposta

\cos(a)