Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
-
é uma constante (não depende de ). - Se substituirmos
obtemos numerador e denominador . Portanto a forma do quociente é , que é uma indeterminação.
Passo 2
Vamos usar a regra de L’Hôspital (o enunciado pede isso). Vou primeiro explicar a regra de L’Hôspital de forma simples e clara:
- Situação: queremos
. - Se ao avaliar os limites temos a forma indeterminada
ou , e se e são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), então, quando existir,
ou seja, podemos substituir o quociente pelas derivadas do numerador e do denominador e tomar o limite dessas derivadas.
- Aplicando isso ao nosso caso: aqui
e . Vimos que a forma é . Precisamos então calcular e .
Passo 3
Calcular as derivadas
e
, explicando cuidadosamente cada passo.
- Derivada de
é direta: . - Para
: note que é uma constante em relação a , então sua derivada é . Sobra a derivada de em relação a . Usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , e tem derivada . Logo
- (Mini-aula rápida sobre por que
: pela definição de derivada,
Usando a identidade trigonométrica
e escrevendo
, ao tomar
obtemos
porque
e
. Assim a derivada é
.)
Passo 4
Aplicar a regra de L’Hôspital com as derivadas encontradas:
Agora usamos a continuidade da função cosseno:
é contínua, então
.
Passo 5
Conclusão: o limite existe e vale
. (Interpretando geometricamente, esse limite é exatamente a derivada de
avaliada em
.)