Calcule os limites (envolve infinito).
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é a razão
. - O ponto de interesse é
, aproximando-se pela direita ( ). - Essa expressão pode ter problema em
porque o denominador pode anular-se aí; preciso verificar o que acontece com numerador e denominador quando tende a pela direita.
Passo 2
Vamos avaliar o numerador e fatorar o denominador para ver o comportamento perto de
.
Calcular o numerador em
:
Logo, o numerador tende para o número finito e positivo
quando
.
Fatorar o denominador:
Portanto, o denominador zera em
(pois tem fator
).
Explicar a regra usada: quando o numerador tende a um número finito não nulo e o denominador tende a
, o quociente tende a
ou
dependendo do sinal do denominador ao se aproximar do ponto. Não é caso de indeterminação
, então não precisamos de L’Hôpital: basta analisar o sinal do denominador próximo de
.
Passo 3
Analisar o sinal do denominador para
. Como
avaliamos os fatores para
próximo de
pela direita:
-
é um número pequeno e positivo quando (porque estamos à direita de ). -
aproxima-se de , portanto é positivo perto de .
Produto:
é positivo e pequeno quando
. Ou seja, o denominador tende para
.
Passo 4
Juntando: numerador tende para
e denominador tende para
. Logo a razão tende para
(um número positivo dividido por um número positivo muito pequeno cresce sem limite).
Para ver de forma assintótica, faça a substituição
com
. Então
Portanto
Quando
a fração comporta-se como
, que tende para
. Isso confirma a conclusão anterior.
Passo 5
Conclusão final e motivação curta: a função tem uma assíntota vertical em
e, ao aproximar-se de
pela direita, os valores da função crescem sem limite positivo.