Calcule os limites (envolve infinito).
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x^{2}+5 x+1}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 3^{+}} \frac{x^{2}+5x+1}{x^{2}-2x-3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é a razão \dfrac{x^{2}+5x+1}{x^{2}-2x-3}.
  • O ponto de interesse é x=3, aproximando-se pela direita ( x\to3^{+}).
  • Essa expressão pode ter problema em x=3 porque o denominador pode anular-se aí; preciso verificar o que acontece com numerador e denominador quando x tende a 3 pela direita.

Passo 2

Vamos avaliar o numerador e fatorar o denominador para ver o comportamento perto de x=3.
Calcular o numerador em x=3:
3^{2}+5\cdot3+1 = 9+15+1 = 25.
Logo, o numerador tende para o número finito e positivo 25 quando x\to3.
Fatorar o denominador:
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).
Portanto, o denominador zera em x=3 (pois tem fator x-3).
Explicar a regra usada: quando o numerador tende a um número finito não nulo e o denominador tende a 0, o quociente tende a +\infty ou -\infty dependendo do sinal do denominador ao se aproximar do ponto. Não é caso de indeterminação 0/0, então não precisamos de L’Hôpital: basta analisar o sinal do denominador próximo de 3.

Passo 3

Analisar o sinal do denominador para x\to3^{+}. Como
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1),
avaliamos os fatores para x próximo de 3 pela direita:
  • x-3 é um número pequeno e positivo quando x\to3^{+} (porque estamos à direita de 3).
  • x+1 aproxima-se de 3+1=4, portanto é positivo perto de x=3.
Produto: (x-3)(x+1) é positivo e pequeno quando x\to3^{+}. Ou seja, o denominador tende para 0^{+}.

Passo 4

Juntando: numerador tende para 25>0 e denominador tende para 0^{+}. Logo a razão tende para +\infty (um número positivo dividido por um número positivo muito pequeno cresce sem limite).
Para ver de forma assintótica, faça a substituição x=3+h com h\to0^{+}. Então
\text{numerador} = (3+h)^2+5(3+h)+1 = 25 + 11h + h^2,
\text{denominador} = (3+h)^2-2(3+h)-3 = h(4+h).
Portanto
\frac{x^{2}+5x+1}{x^{2}-2x-3}=\frac{25+11h+h^2}{h(4+h)}.
Quando h\to0^{+} a fração comporta-se como \dfrac{25}{4h}, que tende para +\infty. Isso confirma a conclusão anterior.

Passo 5

Conclusão final e motivação curta: a função tem uma assíntota vertical em x=3 e, ao aproximar-se de 3 pela direita, os valores da função crescem sem limite positivo.

Resposta

+\infty