Calcule os limites das funções de variáveis complexas. lim z 0 raizz^2+9-3z^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função de uma variável complexa:
lim z 0 raizz^2+9-3z^2
Vamos trabalhar com limites envolvendo funções de variáveis complexas e usar o conceito de expansão em série para resolver essa expressão.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro do limite. O numerador é raizz^2 + 9 - 3. Para facilitar, podemos expandir a raiz quadrada usando a série de Taylor.
A expansão da raiz quadrada de 1 + x em série de Taylor é:
raiz1 + x = 1 + x2 - x^28 + cdots

Passo 3

Aplicando essa expansão à nossa expressão, temos:
raizz^2 + 9 = 3raiz1 + z^29 = 3(1 + z^218 - z^4(8)(81) + cdots)
Simplificando:
raizz^2 + 9 = 3 + z^26 - z^4216 + cdots

Passo 4

Agora, subtraímos 3 do resultado:
raizz^2 + 9 - 3 = z^26 - z^4216 + cdots

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original do limite:
raizz^2+9-3z^2 = z^26 - z^4216 + cdotsz^2 = 16 - z^2216 + cdots

Passo 6

Agora, ao calcular o limite quando z tende a 0, os termos com z^2 e superiores vão tendendo a 0. Portanto, o limite é:
lim z 0 raizz^2+9-3z^2 = 16

Resposta

O limite é dfrac16.

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